§2等差数列2.1等差数列2.1.1等差数列的概念学习目标1.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式，并能运用通项公式解决一些简单问题．2．熟悉等差数列通项公式的推导过程，掌握等差数列的通项公式的推导方法．课堂互动讲练知能优化训练2.1.1等差数列的概念课前自主学案课前自主学案温故夯基1．如果数列{an}的________与______之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列{an}的通项公式．2．从函数的观点看，数列的表示方法有_______，_______，___________．第n项an序号n列表法图像法通项公式法1．等差数列的概念如果一个数列从_______起，每一项与它的前一项的差等于___________，那么这个数列就叫做等差数列，这个_____叫做等差数列的公差，通常用字母___表示．2．等差数列的通项公式若{an}是首项为a1，公差为d的等差数列，则{an}的通项公式为_________________.知新益能第二项同一个常数常数dan＝a1＋(n－1)d问题探究1．等差数列的定义中为什么要强调“从第2项起”和“差是同一个常数”这两点？提示：通过列举反例来分析．我们知道一个数列的第1项没有前一项，所以强调“从第2项起”；“差是常数”和“差是同一个常数”的意义不一样，如数列1,5,3,7中，a2－a1＝5－1＝4＝常数，a3－a2＝3－5＝－2＝常数，a4－a3＝7－3＝4＝常数，差都是常数，但是很明显该数列不是等差数列，所以强调“差是同一个常数”，这是等差数列定义的核心．2．求等差数列的通项公式除课本的归纳法外,你还知道哪些方法？提示：除课本上用归纳法得到通项公式外，还有以下几种方法推出等差数列的通项公式，这些方法是解决问题的一些重要的常规方法，要注意体会并逐步应用．①累加法因为{an}为等差数列，则有an－an－1＝d，an－1－an－2＝d，an－2－an－3＝d，…a2－a1＝d.将以上各等式相加，得an－a1＝(n－1)d.所以，an＝a1＋(n－1)d.②迭代法 {an}是等差数列，则有an＝an－1＋d＝an－2＋d＋d＝an－2＋2d＝an－3＋d＋2d＝an－3＋3d＝…＝a1＋(n－1)d，∴an＝a1＋(n－1)d.课堂互动讲练等差数列的基本运算考点突破等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d中共含有四个变数，即a1，d，n，an.如果知道了其中任意三个数，就可以求出第四个数，这种可行性与求出未知数的过程可称为“知三求一”．有时是用两种方式(或条件)给出了两个同类变数的值，也可以求出这个等差数列其它未知数的值．(2009年高考安徽卷)已知{an}为等差数列,a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20等于()A．－1B．1C．3D．7【思路点拨】先列方程组求出等差数列的基本量a1和d，再求a20.例例11【解析】由题意可得3a1＋6d＝105，3a1＋9d＝99，即a1＋2d＝35，a1＋3d＝33，解得a1＝39d＝－2，所以an＝39－2(n－1)＝41－2n，故a20＝41－2×20＝1，故选B.【答案】B【名师点评】在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素．有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1、d的关系式列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．互动探究在本例中，若条件改为“已知a5＝11，an＝1，d＝－2”，如何求n?解：由a5＝11，an＝1，得a1＋4d＝11a1＋n－1d＝1,∴a1＋4×－2＝11a1＋n－1×－2＝1,解得n＝10.判断一个数列是等差数列的基本方法是紧扣定义利用an＋1－an＝d(d为常数，n≥1)或an－an－1＝d(d为常数，n≥2)．等差数列的判定或证明判断下列数列是否为等差数列．(1)an＝3n＋2；(2)an＝n2＋n.【思路点拨】利用等差数列的定义，即判断an＋1－an(n∈N＋)是否为同一个常数．例例22【解】(1)an＋1－an＝3(n＋1)＋2－(3n＋2)＝3(n∈N＋)由n的任意性知，这个数列为等差数列．(2)an＋1－an＝(n＋1)2＋(n＋1)－(n2＋n)＝2n＋2，不是同一个常数，所以这个数列不是等差数列．【名师点评】利用定义法判断时，关键的是用an＋1－an得到的结论看是否是一个与n无关的常数，如果是，即为等差数列，若不是，则不是等差数列．在应用等差数列的通项公式时要注意方程思想的应用，其最终结果一般写成n的一次函数形式；另外，等差数列的变形为am＝an＋(m－n)d(...
