【优化方案】2013年高中数学-第1章2.2.1-等差数列的前n项和公式课件-北师大版必修5VIP免费

2.2等差数列的前n项和2.2.1等差数列的前n项和公式学习目标1.掌握等差数列前n项和公式的推导方法，能应用公式解决基本的数列求和问题．2．熟练掌握等差数列的五个基本量a1，d，n，an，Sn之间的关系，能够由其中的三个求另外两个，掌握前n项和公式的推证方法——倒序相加法．课堂互动讲练知能优化训练2.2.1等差数列的前n项和公式课前自主学案课前自主学案温故夯基1．等差数列的判定(1)判定一个数列为等差数列的常用方法有：①定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N＋)⇔{an}为等差数列．②递推法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N＋)⇔{an}为等差数列．③通项法：an为n的一次函数⇔{an}为等差数列.(2)判定一个数列不是等差数列只须证明2a2≠a1＋a3.2．等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N＋)．知新益能1．数列的前n项和一般地，我们称__________________为数列{an}的前n项和，用Sn表示，即Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an.则Sn－1＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1.由此可得an＝S1，Sn－Sn－1，n＝1n≥2.a1＋a2＋a3＋…＋an2．等差数列的前n项和公式已知量首项、末项与项数首项、公差与项数选用公式Sn＝________Sn＝_____________na1＋an2na1＋nn－12d问题探究在公式Sn＝na1＋nn－12d中，Sn一定是关于n的二次函数吗？提示：由Sn＝na1＋nn－12d＝d2n2＋(a1－d2)n，其中a1，d为常数，当d≠0时，Sn是项数n的二次函数，且不含常数项，即Sn＝An2＋Bn(A≠0)；当公差d＝0时，Sn＝na1.课堂互动讲练与前n项和有关的基本量的运算考点突破将等差数列问题利用化归思想转化为基本量的关系，再利用方程的思想来解决，是通性通法.一般地，等差数列的五个基本量a1，an，d，n,Sn，知道其中任意三个量可建立方程组，求出另外两个量，即“知三求二”问题，若能巧妙地利用等差数列(或前n项和)的性质会使计算更简便．已知在等差数列{an}中，(1)a1＝105，an＝994，d＝7，求Sn；(2)a1＝1，an＝－512，Sn＝－1022，求d；(3)a1＝32，d＝－12，Sn＝－15，求n；(4)d＝13，n＝37，Sn＝629，求a1及an.(5)(2010年高考山东卷改编)a3＝7，a5＋a7＝26，求an及Sn.例例11【解】(1)由an＝a1＋(n－1)d，且a1＝105，d＝7，得994＝105＋(n－1)×7，解之得n＝128.∴Sn＝na1＋an2＝128×105＋9942＝70336.【思路点拨】充分利用等差数列的通项公式和前n项和公式，列方程(组)进行求解．(2)由Sn＝na1＋an2＝n1－5122＝－1022，解之得n＝4.又由an＝a1＋(n－1)d，即－512＝1＋(4－1)d，解之得d＝－171.(3) Sn＝n·32＋nn－12(－12)＝－15，整理得n2－7n－60＝0，解之得n＝12或n＝－5(舍去)，(4)将d＝13，n＝37，Sn＝629，代入an＝a1＋(n－1)d，Sn＝na1＋an2，得an＝a1＋12，37a1＋an2＝629.解之得a1＝11，an＝23.(5)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由于a3＝7，a5＋a7＝26，所以a1＋2d＝7,2a1＋10d＝26，解得a1＝3，d＝2.由于an＝a1＋(n－1)d，Sn＝na1＋an2，所以an＝2n＋1，Sn＝n(n＋2)．【名师点评】等差数列的通项公式及前n项和公式中“知三求二”的问题，一般是由通项公式和前n项和公式联立方程(组)求解．这种方法是解决数列运算的基本方法，在具体求解过程中应注意已知与未知的联系及整体思想的运用．自我挑战1等差数列{an}中，a6＝10，S5＝5,求a8和S8.解：法一：设数列{an}的首项为a1，公差为d，由已知得a1＋5d＝10，5a1＋12×5×4d＝5，得a1＝－5，d＝3.∴a8＝a1＋7d＝－5＋7×3＝16.S8＝82(a1＋a8)＝82×(－5＋16)＝44.法二：由已知得S6＝S5＋a6＝5＋10＝15，∴S6＝6a1＋102＝15，∴a1＝－5.又d＝a6－a16－1＝3，∴a8＝a1＋7d＝－5＋7×3＝16，S8＝8a1＋a82＝44.求等差数列的前n项和通常是求出首项a1和公差d，因此，需要列出关于a1和d的方程组，然后代入公式求Sn.求等差数列的前n项和已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝35，S22＝473，求Sn.【思路点拨】由于等差数列的前n项和是关于n的二次函数，故可用待定系数法求解；也可列方程组求出a1和d再求Sn.例例22【解】法一：设等差数列{an}的前n项和为Sn＝An2＋Bn(...