姜晓儒演示文稿VIP免费

一、问题的提出实例1（求曲边梯形的面积）求面积问题由来已久，对于由直线所围成的平面图形的面积我们已经会求，下图所示的图形如何求面积大量的工程技术实际问题都可归结为求这种类圆形的面积一、定积分的概念虎门大桥虎门大桥曲边梯形由连续曲线)(xfy)0)((xf、x轴与两条直线ax、bx所围成.abxyo)(xfy问题：求曲边梯形的面积数学的思维过程：从未知已知从特殊一般用矩形面积近似取代曲边梯形面积abxyo（四个小矩形）abxyo（九个小矩形）显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．abxyoix1x1ix1nx,1210bxxxxxxanii(1)分割).,2,1(1nixxxiii在区间],[ba任意插n个分点，把],[ba分成n个小区间：).,2,1(,1nixxii每个小区间的长度如图：曲边梯形abxyoiix1x1ix1nx（3）求和：面积的近似值为11()nniiiiiSsfx（2）近似代替：（以直代曲）1[,]()iiiiixxSfxi在每个小区间上任取一点（4）取极限，精确化：01lim()niixiSfx实例2（求变速直线运动的路程）设某物体作直线运动，已知速度)(tvv是时间间隔],[21TT上t的一个连续函数，且0)(tv，求物体在这段时间内所经过的路程.思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值．路程=速度×时间.匀速直线运动：t1T2T0t1t2t1itit1ntnti(1)分割,21101TtttttTnii(2)近似代替iiitvs)(iniiniitvss11(3)求和},{max1init(4)取极限.)(lim10niiitvs1iiittt),,2,1(ni（求变速直线运动的路程）实例2从上面例子看出，不管是求曲边梯形的面积或是计算变速运动的路程，它们都归结为对问题的某些量进行“分割、近似代替、求和、取极限”，或者说都归结为形如的和式极限问题。我们把这些问题从具体的问题中抽象出来，作为一个数学概念提出来就是今天要讲的定积分。由此我们可以给定积分的定义。niixif1)(设函数)(xf在],[ba上有界，记},,,max{21nxxx，如果不论对],[ba在],[ba中任意插入若干个分点bxxxxxann1210把区间],[ba分成n个小区间，各小区间的长度依次为1iiixxx，),2,1(i，在各小区间上任取一点i（iix），作乘积iixf)(),2,1(i并作和iinixfS)(1，定义二、定积分的定义怎样的分法，baIdxxf)(iinixf)(lim10被积函数被积表达式积分变量积分区间],[ba也不论在小区间],[1iixx上点i怎样的取法，只要当0时，和S总趋于确定的极限I，我们称这个极限I为函数)(xf在区间],[ba上的定积分，记为积分上限积分下限积分和1.dxxf)(与badxxf)(的差别dxxf)(是)(xf的全体原函数是函数badxxf)(是一个和式的极限是一个确定的常数2.当xfini)(1的极限存在时，其极限值仅与被积函数及积分区间有关，而与区间ba,的分法及i点的取法无关。f(x)[a,b]注意3．定积分的值与积分变量用什么字母表示无关，即有bababaduufdttfdxxf)()()(4．规定：abbadxxfdxxf)()(0)(aadxxf注意A.与区间及被积函数有关；B.与区间无关与被积函数有关C.与积分变量用何字母表示有关；D.与被积函数的形式无关)(xfy在ba,上连续，则定积分badxxf)(的值4.及x轴所围成的曲边梯形的面积，用定积分表示为12xy与直线3,1xx1.由曲线dxx)1(2312-2[-2,2]0A222)1(dxx3.定积分练习223sintdt中，积分上限是积分下限是________2.积分区间是１．定积分的实质：特殊和式的极限．２．定积分的思想和方法：分割化整为零求和积零为整取极限精确值——定积分求近似以直（不变）代曲（变）取极限三、小结观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．13观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．53观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．103