logistic模型(2n)确定参数N及r估m-1)-r(t-1)-ln(^m-1)]20N(3->1(k二0,1,2,n)估Logistic模型自然界中存在着一种事物的发展规律：在其发展初期，数量或规模增加得越来越快，到了一定时期，其增长速度逐步慢下来，最终数量或规模不再增长，从而稳定在数量或规模的极限值处。如果记t时刻数量为N(t)=N，则上述发展规律可由微分方程描述：td—“N/八旷=r(1—-)N(1)dtNtm在初始条件N(t)=N和参数(r、N>0)已知的条件下，N被唯一确定。易00得其解为N=「t1+(N/N—1)e-r([-『0)m0给出由n对观测数据(t,N)(N(t)=N,k=1,2,kkkk计值的算法。该问题实质是确定估计函数：N=Nm——.——t1+(N/N-1)e-r([-°)0使得函数N和N的距离最小。交替迭代算法交替迭代算法的基本思想是：先假设N已知，求出r的最小二乘估计值，m再以r的估计值为已知，求出—的最优估计值，这样交替迭代，直至收敛到符m合精度要求为止。N已知时r的估计m整理式(2)得NNIn—-1)-r(t-1)-In—-1)二0NkoNot由于观察过程中，观察数据有偏差，不妨令该偏差为NNln(—m-1)-r(t-1)-ln(—m-1)NkoNkot其中，N为t时刻的观测值，则令kkf(r*)=min工耳2=min工[ln(Nmr>0k=1kr>0k=1No根据最小二乘准则，得y心…N(N-N)(t—t)ln——km0—k0N(N-N)r*=心om工(t一t)2k0k=1由式(3)可见，由于对数运算的限制，只有N1计才有意义。r已知时N的估计m由式(2)可得观测值：））£（—_zo）2算法步骤估计N：、*的交替迭代算法的具体步骤：1、取初值心1、b=O、＜0）（NJ接近他）和精度C代入式（3）求得厂的估计值严,即令Q=得2、将方代入式（4）求得NJ,0（疋），出+1）二（严如_1）~nhN°严知一弘3、若a-N^+b-r{i~X}<3,则停止，此时有N：严N》,r«r0'0,否则转到步骤四。4、级i=i+1>a=N半、b-r（/_l）；再转到步骤二。算法的收敛性上述参数估计问题可概述为数学问题：由〃对观测数据（如他），其中Ng=Nk，k=\,2,…小，求式（2）的参数N冲和厂估计值问题。令误差函数为0（心厂）=乞（加+劝k=l显然0为连续可微函数，那么点集K={x\Q（x）Q（N驚）,必切,严））由点集K的有闭性及序列{0（兀）}的非负不增性，可知存在点XEK为序列{%}的聚点，凡=（NJ）F）,即limxv=x*V->QO注1：由于式（5）的0函数是关于自变量的非线性函数，尽管在无扰动的情况下有意义，且最优解存在，但在实际观察中，误差的存在很容易使得In（竽-1）在时间k足够长（即他非常接近N”）时失去计算意义，为了在估算参数厂中避免该情况，观察时间斤值不宜太大，这往往是符合实际的。注2：从式（4）的推导过程中可得：当他越接近號，N”估计值的误差方差越小。算法示例参数估计算法根据注1、2,在应用交替迭代算法估计Logistic模型中的参数时，应注意:（1）因观测数据他仗=1,2,…，力含有误差，所以要按由小到大重新排序，使得N⑴,N（2）,…,N（”）。（2）观测时间要足够长，从样本上可以看出这是一个阻滞增长过程。(3)初始值N—般取第一个观测值。0(4)参数N、r的取值范围为r>0,NG(s,l),这里s二max(0,N,N),mm0[nil][2]L二2N。n(5)参数计算过程中，使用的样本要满足N>N。k0(6)估计r时应用较靠前的观测数据，而估计N时用靠后的数据，靠前的m数据观测值多些，但不要靠近极限值，靠后的数据数目可少些，尽量靠近系统的极限。以下L替换为N，a替换为N/Nmm0x=0:1:12y=[43.65109.86187.21312.67496.58707.65960.251238.751560.001824.292199.002438.892737.71]y=L/(1+a*exp(-k*x))利用线性回归模型所得到的a和k的估计值和L=3000作为Logistic模型的拟合初值，对Logistic模型做非线性回归。%第一步，线性回归模型得到a,k%这里假定y=a*exp(k*x),对两边取ln(Matlab中，In用log函数表示)，有%lny=lna+k*x%即logy是x的线性函数，斜率为k,截距为logax=0:1:12;y=[43.65109.86187.21312.67496.58707.65960.251238.751560.001824.292199...
