实用标准文案精彩文档线性代数知识点1、行列式1.n行列式共有2n个元素，展开后有!n项，可分解为2n行列式；2.代数余子式的性质：①、ijA和ija的大小无关；②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A；3.代数余子式和余子式的关系：(1)(1)ijijijijijijMAAM4.设n行列式D：将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D，则(1)21(1)nnDD；将D顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为2D，则(1)22(1)nnDD；将D主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D，则3DD；将D主副角线翻转后，所得行列式为4D，则4DD；5.行列式的重要公式：①、主对角行列式：主对角元素的乘积；②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2(1)nn；③、上、下三角行列式（◥◣）：主对角元素的乘积；④、◤和◢：副对角元素的乘积(1)2(1)nn；⑤、拉普拉斯展开式：AOACABCBOB、(1)mnCAOAABBOBC⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；⑦、特征值；6.对于n阶行列式A，恒有：1(1)nnknkkkEAS，其中kS为k阶主子式；7.证明0A的方法：①、AA；②、反证法；③、构造齐次方程组0Ax，证明其有非零解；④、利用秩，证明()rAn；实用标准文案精彩文档⑤、证明0是其特征值；2、矩阵1.A是n阶可逆矩阵：0A（是非奇异矩阵）；()rAn（是满秩矩阵）A的行（列）向量组线性无关；齐次方程组0Ax有非零解；nbR，Axb总有唯一解；A与E等价；A可表示成若干个初等矩阵的乘积；A的特征值全不为0；TAA是正定矩阵；A的行（列）向量组是nR的一组基；A是nR中某两组基的过渡矩阵；2.对于n阶矩阵A：**AAAAAE无条件恒成立；3.1**111**()()()()()()TTTTAAAAAA***111()()()TTTABBAABBAABBA4.矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；5.关于分块矩阵的重要结论，其中均A、B可逆：若12sAAAA，则：Ⅰ、12sAAAA；Ⅱ、111121sAAAA；②、111AOAOOBOB；（主对角分块）③、111OAOBBOAO；（副对角分块）实用标准文案精彩文档④、11111ACAACBOBOB；（拉普拉斯）⑤、11111AOAOCBBCAB；（拉普拉斯）3、矩阵的初等变换与线性方程组1.一个mn矩阵A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：rmnEOFOO；等价类：所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵A、B，若()()rArBAB；2.行最简形矩阵：①、只能通过初等行变换获得；②、每行首个非0元素必须为1；③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；3.初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）①、若(,)(,)rAEEX，则A可逆，且1XA；②、对矩阵(,)AB做初等行变化，当A变为E时，B就变成1AB，即：1(,)(,)cABEAB；③、求解线形方程组：对于n个未知数n个方程Axb，如果(,)(,)rAbEx，则A可逆，且1xAb；4.初等矩阵和对角矩阵的概念：①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；②、12n，左乘矩阵A，i乘A的各行元素；右乘，i乘A的各列元素；③、对调两行或两列，符号(,)Eij，且1(,)(,)EijEij，例如：1111111；④、倍乘某行或某列，符号(())Eik，且11(())(())EikEik，例如：1111(0)11kkk；⑤、倍加某行或某列，符号(())Eijk,且1(())(())EijkEijk，如：11111(0)11kkk；5.矩阵秩的基本性质：实用标准文案精彩文档①、0()min(,)mnrAmn；②、()()TrArA；③、若AB，则()()rArB；④、若P、Q可逆，则()()()()rArPArAQrPAQ；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）⑤、max((),())(,)()()rArBrABrArB；（※）⑥、()()()rABrArB；（※）⑦、()min((),())rABrArB；（※）⑧、如果A是mn矩阵，B是ns矩阵，且0AB，则：（※）Ⅰ、B的列向量全部是齐次方程组0AX解（转置运算后的结论）；Ⅱ、()()rArBn⑨、若A、B均为n阶方阵，则()()()rABrArBn；6.三种特殊矩阵的方幂：①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；②、型如101001acb的矩阵：利用二项展开式；二项展开式：01111110()nnnnmnmmnnnnmmnmnnnnnnmabCaCabCabCabCbCab；注：Ⅰ、()nab展开后有1n项；Ⅱ、0(1)(1)!1123!()!mnnnnnnnmnCCCmmnmⅢ、...
