实用标准文案精彩文档线性代数知识点1、行列式1.n行列式共有2n个元素,展开后有!n项,可分解为2n行列式;2.代数余子式的性质:①、ijA和ija的大小无关;②、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为0;③、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为A;3.代数余子式和余子式的关系:(1)(1)ijijijijijijMAAM4.设n行列式D:将D上、下翻转或左右翻转,所得行列式为1D,则(1)21(1)nnDD;将D顺时针或逆时针旋转90,所得行列式为2D,则(1)22(1)nnDD;将D主对角线翻转后(转置),所得行列式为3D,则3DD;将D主副角线翻转后,所得行列式为4D,则4DD;5.行列式的重要公式:①、主对角行列式:主对角元素的乘积;②、副对角行列式:副对角元素的乘积(1)2(1)nn;③、上、下三角行列式(◥◣):主对角元素的乘积;④、◤和◢:副对角元素的乘积(1)2(1)nn;⑤、拉普拉斯展开式:AOACABCBOB、(1)mnCAOAABBOBC⑥、范德蒙行列式:大指标减小指标的连乘积;⑦、特征值;6.对于n阶行列式A,恒有:1(1)nnknkkkEAS,其中kS为k阶主子式;7.证明0A的方法:①、AA;②、反证法;③、构造齐次方程组0Ax,证明其有非零解;④、利用秩,证明()rAn;实用标准文案精彩文档⑤、证明0是其特征值;2、矩阵1.A是n阶可逆矩阵:0A(是非奇异矩阵);()rAn(是满秩矩阵)A的行(列)向量组线性无关;齐次方程组0Ax有非零解;nbR,Axb总有唯一解;A与E等价;A可表示成若干个初等矩阵的乘积;A的特征值全不为0;TAA是正定矩阵;A的行(列)向量组是nR的一组基;A是nR中某两组基的过渡矩阵;2.对于n阶矩阵A:**AAAAAE无条件恒成立;3.1**111**()()()()()()TTTTAAAAAA***111()()()TTTABBAABBAABBA4.矩阵是表格,推导符号为波浪号或箭头;行列式是数值,可求代数和;5.关于分块矩阵的重要结论,其中均A、B可逆:若12sAAAA,则:Ⅰ、12sAAAA;Ⅱ、111121sAAAA;②、111AOAOOBOB;(主对角分块)③、111OAOBBOAO;(副对角分块)实用标准文案精彩文档④、11111ACAACBOBOB;(拉普拉斯)⑤、11111AOAOCBBCAB;(拉普拉斯)3、矩阵的初等变换与线性方程组1.一个mn矩阵A,总可经过初等变换化为标准形,其标准形是唯一确定的:rmnEOFOO;等价类:所有与A等价的矩阵组成的一个集合,称为一个等价类;标准形为其形状最简单的矩阵;对于同型矩阵A、B,若()()rArBAB;2.行最简形矩阵:①、只能通过初等行变换获得;②、每行首个非0元素必须为1;③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0;3.初等行变换的应用:(初等列变换类似,或转置后采用初等行变换)①、若(,)(,)rAEEX,则A可逆,且1XA;②、对矩阵(,)AB做初等行变化,当A变为E时,B就变成1AB,即:1(,)(,)cABEAB;③、求解线形方程组:对于n个未知数n个方程Axb,如果(,)(,)rAbEx,则A可逆,且1xAb;4.初等矩阵和对角矩阵的概念:①、初等矩阵是行变换还是列变换,由其位置决定:左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵;②、12n,左乘矩阵A,i乘A的各行元素;右乘,i乘A的各列元素;③、对调两行或两列,符号(,)Eij,且1(,)(,)EijEij,例如:1111111;④、倍乘某行或某列,符号(())Eik,且11(())(())EikEik,例如:1111(0)11kkk;⑤、倍加某行或某列,符号(())Eijk,且1(())(())EijkEijk,如:11111(0)11kkk;5.矩阵秩的基本性质:实用标准文案精彩文档①、0()min(,)mnrAmn;②、()()TrArA;③、若AB,则()()rArB;④、若P、Q可逆,则()()()()rArPArAQrPAQ;(可逆矩阵不影响矩阵的秩)⑤、max((),())(,)()()rArBrABrArB;(※)⑥、()()()rABrArB;(※)⑦、()min((),())rABrArB;(※)⑧、如果A是mn矩阵,B是ns矩阵,且0AB,则:(※)Ⅰ、B的列向量全部是齐次方程组0AX解(转置运算后的结论);Ⅱ、()()rArBn⑨、若A、B均为n阶方阵,则()()()rABrArBn;6.三种特殊矩阵的方幂:①、秩为1的矩阵:一定可以分解为列矩阵(向量)行矩阵(向量)的形式,再采用结合律;②、型如101001acb的矩阵:利用二项展开式;二项展开式:01111110()nnnnmnmmnnnnmmnmnnnnnnmabCaCabCabCabCbCab;注:Ⅰ、()nab展开后有1n项;Ⅱ、0(1)(1)!1123!()!mnnnnnnnmnCCCmmnmⅢ、...