小题专项集训(七)三角恒等变换、解三角形(时间：40分钟满分：75分)一、选择题(每小题5分，共50分)1．计算sin68°sin67°－sin23°cos68°的值为()．A．－B.C.D．1解析原式＝sin68°cos23°－cos68°sin23°＝sin(68°－23°)＝sin45°＝.答案B2．函数y＝2cos2－1是()．A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数解析因为y＝2cos2－1＝cos＝sin2x，故T＝π，选A.答案A3．(·湖北八校联考)在△ABC中，C＝60°，AB＝，BC＝，那么A等于()．A．135°B．105°C．45°D．75°解析由正弦定理知＝，即＝，所以sinA＝，又由题知0°
0，于是有cosB<0，B为钝角，△ABC是钝角三角形，选A.答案A6．(·浙江五校联考)若△ABC的角A，B，C对边分别为a，b，c，且a＝1，∠B＝45°，S△ABC＝2，则b＝()．A．5B．25C.D．5解析由S△ABC＝acsin45°＝2，得c＝4.所以b2＝a2＋c2－2ac·cosB＝1＋32－2×1×4×＝25.∴b＝5.答案A7．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500m，则电视塔的高度是()．A．100mB．400mC．200mD．500m解析由题意画出示意图，设塔高AB＝hm，在Rt△ABC中，由已知BC＝hm，在Rt△ABD中，由已知BD＝hm，在△BCD中，由余弦定理BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos∠BCD，得3h2＝h2＋5002＋h·500，解得h＝500(m)．答案D8．(·泉州质检)△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosC，bcosB，ccosA成等差数列，则角B等于()．A．30°B．60°C．90°D．120°解析依题意得acosC＋ccosA＝2bcosB，根据正弦定理得sinAcosC＋sinCcosA＝2sinBcosB，则sin(A＋C)＝2sinBcosB，即sinB＝2sinBcosB，所以cosB＝，又0°B>C,3b＝20acosA，则sinA∶sinB∶sinC为()．A．4∶3∶2B．5∶6∶7C．5∶4∶3D．6∶5∶4解析由题意可设a＝b＋1，c＝b－1.又∵3b＝20a·cosA，∴3b＝20(b＋1)·.整理得，7b2－27b－40＝0.解得，b＝5，故a＝6，b＝5，c＝4，即sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝6∶5∶4.答案D二、填空题(每小题5分，共25分)11．(·北京西城二模)在△ABC中，若B＝2A，a∶b＝1∶，则A＝________.解析据已知得＝＝＝＝，即cosA＝，解得A＝30°.答案30°12．(·济南模拟)已知sinx＝，x∈，则tan＝________.解析∵sinx＝，x∈，∴cosx＝－＝－，∴tanx＝－.∴tan＝＝＝－3.答案－313．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若其面积S＝(b2＋c2－a2)，则A＝________.解析S＝×2bccosA＝bcsinA⇒tanA＝1⇒A＝.答案14．(·浙江金华十校联考)在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶上有一个观察站P.上午11时，测得一轮船在岛的北偏东30°、俯角30°的B处，到11时10分又测得该船在岛的北偏西60°、俯角60°的C处，则轮船航行速度是________千米/时．解析PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，∠APB＝60°，∠APC＝30°，PA＝1千米，从而BC＝千米，于是速度v＝BC÷＝2(千米/时)．答案215．函数f(x)＝sin2x＋sinxcosx在区间上的最大值是________．解析f(x)＝＋sin2x＝＋sin，当x∈时，2x－∈，sin∈，所以f(x)max＝＋1＝.答案
