9.3圆的方程一、填空题1．已知直线l：x－y＋4＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，则圆C上各点到l的距离的最小值为________．解析由题意得C上各点到直线l的距离的最小值等于圆心(1,1)到直线l的距离减去半径，即－＝.答案2．已知点A(1，－1)，B(－1,1)，则以线段AB为直径的圆的方程是________．解析AB的中点坐标为(0,0)，AB＝＝2，∴圆的方程为x2＋y2＝2.答案x2＋y2＝23．若圆心在x轴上、半径为的圆C位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆C的方程是________．解析设圆心为(a,0)(a＜0)．因为直线x＋2y＝0与圆相切，所以＝，即＝，解得a＝－5.所以圆C的方程为(x＋5)2＋y2＝5.答案(x＋5)2＋y2＝54．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为________．解析设圆心坐标为(0，b)，则由题意知＝1，解得b＝2，故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.答案x2＋(y－2)2＝15．已知圆过P(4，－2)、Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为4，则该圆的方程为______________．解析设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则有⇒或由此可写出所求圆的方程．答案(x－1)2＋y2＝13或(x－5)2＋(y－4)2＝376．若圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2上有且只有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1，则半径r的取值范围是________．解析因为圆心(3，－5)到直线4x－3y－2＝0的距离为5，所以当半径r＝4时，圆上有1个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1，当半径r＝6时，圆上有3个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1，所以圆上有且只有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1时，4＜r＜6.答案(4,6)7．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是________．解析设圆上任一点为Q(x0，y0)，PQ的中点为M(x，y)，则解得，因为点Q在圆x2＋y2＝4上，所以x＋y＝4，即(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，即(x－2)2＋(y＋1)2＝1.答案(x－2)2＋(y＋1)2＝18.直线x-2y+5=0与圆相交于A、B两点,则|AB|=.解析圆心为(0,0),半径为圆心到直线x-2y+5=0的距离为故得|AB|.答案9．已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则C的方程为________．解析线段AB的中垂线方程为2x－y－4＝0，与x轴的交点(2,0)即为圆心C的坐标，所以半径为CB＝，所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.答案(x－2)2＋y2＝1010．已知两点A(－2,0)，B(0,2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC面积的最小值为________．解析lAB：x－y＋2＝0，圆心(1,0)到lAB的距离d＝＝，∴AB边上的高的最小值为－1.∴Smin＝×(2)×＝3－.答案3－11．已知圆C的圆心与抛物线y2＝4x的焦点关于直线y＝x对称．直线4x－3y－2＝0与圆C相交于A、B两点，且AB＝6，则圆C的方程为________．解析抛物线y2＝4x，焦点为F(1,0)．∴圆心C(0,1)，C到直线4x－3y－2＝0的距离d＝＝1，且圆的半径r满足r2＝12＋32＝10.∴圆的方程为x2＋(y－1)2＝10.答案x2＋(y－1)2＝1012．已知点P(a，b)关于直线l的对称点为P′(b＋1，a－1)，则圆C：x2＋y2－6x－2y＝0关于直线l对称的圆C′的方程为________．解析l是线段PP′的垂直平分线，其方程为y－＝x－，即x－y－1＝0，设圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝10关于直线l对称的圆C′的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝10，则点(3,1)与(a，b)关于直线l对称，于是由解得所以圆C′：(x－2)2＋(y－2)2＝10.答案(x－2)2＋(y－2)2＝1013．定义：若平面点集A中的任一个点(x0，y0)，总存在正实数r，使得集合{(x，y)|＜r}⊆A，则称A为一个开集．给出下列集合：①{(x，y)|x2＋y2＝1}；②{(x，y)|x＋y＋2＞0}；③{(x，y)||x＋y|≤6}；④{(x，y)|0＜x2＋(y－)2＜1}．其中是开集的是________．(请写出所有符合条件的序号)解析集合{(x，y)|＜r}表示以(x0，y0)为圆心，以r为半径的圆面(不包括圆周)，由开集的定义知，集合A应该无边界，故由①②③④表示的图形知，只有②④符合题意．答案②④二、解答题14.已知圆C和y轴相切,圆心在直线x-3y=0上,且被直线y=x截得的弦长为求圆C的方程.解析设圆心为(3t,t),半径为r=|3t|,令||,而∴或.15．已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.(1)求的最大值和最小值；(2)求y－x的最大值和最小值．思路分析(1)可看成原点(0,0)与点(x，y)连线的斜率；(2)y－x的最值可转化成直线y－x＝b在...
