9.9曲线与方程一、填空题1．方程(x－y)2＋(xy－1)2＝0表示的是________．解析(x－y)2＋(xy－1)2＝0⇔∴或故此方程表示两个点．答案两个点2．方程|y|－1＝表示的曲线是________．解析原方程等价于⇔⇔或答案两个半圆3.动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x+2=0的距离相等,则点P的轨迹方程为_______．解析考查抛物线定义及标准方程,知P的轨迹是以F(2,0)为焦点的抛物线,p=2,所以其方程为.答案4．设P为圆x2＋y2＝1上的动点，过P作x轴的垂线，垂足为Q，若PM＝λMQ(其中λ为正常数)，则点M的轨迹为________．解析设M(x，y)，P(x0，y0)，则Q(x0,0)，由PM＝λMQ得(λ＞0)，∴由于x20＋y20＝1，∴x2＋(λ＋1)2y2＝1，∴M的轨迹为椭圆．答案椭圆5.设P为双曲线上一动点,O为坐标原点,M为线段OP的中点,则点M的轨迹方程是.解析设M(x,y),则P(2x,2y)代入双曲线方程即得.答案6．如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是________．解析由条件知PM＝PF.∴PO＋PF＝PO＋PM＝OM＝R>OF.∴P点的轨迹是以O、F为焦点的椭圆．答案椭圆7．若△ABC的顶点A(－5,0)、B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是________．解析如图AD＝AE＝8，BF＝BE＝2，CD＝CF，所以CA－CB＝8－2＝6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为－＝1(x>3)．答案－＝1(x>3)8．对于曲线C：＋＝1，给出下面四个命题：①曲线C不可能表示椭圆；②当1＜k＜4时，曲线C表示椭圆；③若曲线C表示双曲线，则k＜1或k＞4；④若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1＜k＜.其中所有正确命题的序号为________．解析根据椭圆和双曲线的定义，可得当即时，表示椭圆；当k<1或k>4时，表示双曲线．答案③④9．在△ABC中，A为动点，B、C为定点，B，C(a>0)，且满足条件sinC－sinB＝sinA，则动点A的轨迹方程是________．解析由正弦定理得－＝×，∴AB－AC＝BC，由双曲线的定义知动点A的轨迹为双曲线右支．答案－＝1(x>0且y≠0)10．已知P是椭圆＋＝1(a＞b＞0)上的任意一点，F1、F2是它的两个焦点，O为坐标原点，OQ＝PF1＋PF2，则动点Q的轨迹方程是______________．解析由OQ＝PF1＋PF2，又PF1＋PF2＝PM＝2PO＝－2OP，设Q(x，y)，则OP＝－OQ＝－(x，y)＝，即P点坐标为，又P在椭圆上，则有＋＝1，即＋＝1(a＞b＞0)．答案＋＝1(a＞b＞0)11．已知两条直线l1：2x－3y＋2＝0和l2：3x－2y＋3＝0，有一动圆(圆心和半径都动)与l1、l2都相交，且l1、l2被圆截得的弦长分别是定值26和24，则圆心的轨迹方程是____________．解析设动圆的圆心为M(x，y)，半径为r，点M到直线l1，l2的距离分别为d1和d2.由弦心距、半径、半弦长间的关系得，即消去r得动点M满足的几何关系为d22－d21＝25，即－＝25.化简得(x＋1)2－y2＝65.此即为所求的动圆圆心M的轨迹方程．答案(x＋1)2－y2＝6512．直线＋＝1与x、y轴交点的中点的轨迹方程是______．解析(参数法)设直线＋＝1与x、y轴交点为A(a,0)、B(0,2－a)，A、B中点为M(x，y)，则x＝，y＝1－，消去a，得x＋y＝1， a≠0，a≠2，∴x≠0，x≠1.答案x＋y＝1(x≠0，x≠1)13．到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是________．解析在边长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，DC与A1D1是两条相互垂直的异面直线，平面ABCD过直线DC且平行于A1D1，以D为原点，分别以DA、DC为x轴、y轴建立平面直角坐标系，设点P(x，y)在平面ABCD内且到A1D1与DC之间的距离相等，∴|x|＝，∴x2－y2＝a2，故该轨迹为双曲线．答案双曲线二、解答题14.求过直线x-2y+4=0和圆1=0的交点,且满足下列条件之一的圆的方程:(1)过原点;(2)有最小面积.解析设所求圆的方程是+4)=0,即.(1)因为圆过原点,所以即.故所求圆的方程为.(2)将圆系方程化为标准式,有:.当其半径最小时,圆的面积最小,此时为所求.故满足条件的圆的方程是.点评:(1)直线和圆相交问题,这里应用了曲线系方程,这种解法比较方便;当然也可以用待定系数法.(2)面积最小时即圆半径最小;也可用几何意义,即直线与相交弦为直径时圆...
