10.3二项式定理一、填空题1．(1＋x＋x2)6的展开式中的常数项为________．解析6的一般项为Tr＋1＝C(－1)rx6－2r，当r＝3时，T4＝－C＝－20，当r＝4时，T5＝C＝15，因此常数项为－20＋15＝－5.答案－52.已知的展开式中的系数为15,则m的值为.解析 CC,由得r=2.∴CC.答案3．已知8展开式中常数项为1120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和是________．解析由题意知C·(－a)4＝1120，解得a＝±2，令x＝1，得展开式各项系数和为(1－a)8＝1或38.答案1或384．(4x－2－x)6(x∈R)展开式中的常数项是________．解析Tr＋1＝C(22x)6－r(－2－x)r＝(－1)rC·(2x)12－3r，r＝4时，12－3r＝0，故第5项是常数项，T5＝(－1)4C＝15.答案155．在6的二项展开式中，x2的系数为________．解析在6的展开式中，第r＋1项为Tr＋1＝C6－rr＝C6－rx3－r(－2)r，当r＝1时为含x2的项，其系数是C5(－2)＝－.答案－6．设n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M－N＝240，则展开式中x的系数为________．解析由已知条件4n－2n＝240，解得n＝4，Tr＋1＝C(5x)4－rr＝(－1)r54－rCx4－，令4－＝1，得r＝2，T3＝150x.答案1507．在n的展开式中，所有奇数项的系数之和为1024，则中间项系数是_______．解析 二项式的展开式的所有项的二项式系数和为2n，而所有偶数项的二项式系数和与所有奇数项的二项式系数和相等．由题意得，2n－1＝1024，∴n＝11，∴展开式共有12项，中间项为第六项、第七项，系数为C115＝C116＝462.答案4628．18的展开式中含x15的项的系数为________(结果用数值表示)．解析Tr＋1＝Cx18－rr＝(－1)rCrx18－r，令18－r＝15，解得r＝2.所以所求系数为(－1)2C2＝17.答案179．已知(1＋x＋x2)n的展开式中没有常数项，n∈N*且2≤n≤8，则n＝________.解析n展开式中的通项为Tr＋1＝Cxn－rr＝Cxn－4r(r＝0,1,2，…，8)，将n＝2,3,4,5,6,7,8逐个检验可知n＝5.答案510.若(x－)n的展开式中含有非零常数项，则这样的正整数n的最小值是______．解析Tr＋1＝Cnr(x)n－r(－)r＝Cnr()n－r·(－1)r()r·xn－r·xr3＝Cnr()n－r(－)rx4n-r3，令n－r＝0，得n＝r.∴n取最小值为4.答案411．设二项式6(a＞0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B.若B＝4A，则a的值是________．解析对于Tr＋1＝Cx6－rr＝C(－a)rx6－r，B＝C(－a)4，A＝C(－a)2. B＝4A，a＞0，∴a＝2.答案212．5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为________．解析令x＝1，由已知条件1＋a＝2，则a＝1.5＝C(2x)5＋C(2x)4＋C(2x)32＋C(2x)23＋C(2x)4＋5＝32x5－80x3＋80x－40＋10－，则常数项为40.答案4013．在(x－)2006的二项展开式中，含x的奇次幂的项之和为S，当x＝时，S等于________．解析(x－)2006＝x2006＋Cx2005(－)＋Cx2004·(－)2＋…＋(－)2006，由已知条件S＝－C()2006－C()2006－…－C()2006＝－22005·21003＝－23008.答案－23008二、解答题14．已知二项式n的展开式中各项的系数和为256.(1)求n；(2)求展开式中的常数项．解析(1)由题意得C＋C＋C＋…＋C＝256，即2n＝256，解得n＝8.(2)该二项展开式中的第r＋1项为Tr＋1＝C()8－r·r＝C·x，令＝0，得r＝2，此时，常数项为T3＝C＝28.15．设m，n∈N，f(x)＝(1＋2x)m＋(1＋x)n.(1)当m＝n＝2011时，记f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2011x2011，求a0－a1＋a2－…－a2011；(2)若f(x)展开式中的x的系数是20，则当m，n变化时，试求x2系数的最小值．解析(1)令x＝－1，得a0－a1＋a2－…－a2011＝(1－2)2011＋(1－1)2011＝－1.(2)因为2C＋C＝2m＋n＝20，所以n＝20－2m，则x2的系数为22C＋C＝4×＋＝2m2－2m＋(20－2m)(19－2m)＝4m2－41m＋190.所以当m＝5，n＝10时，f(x)的展开式中的系数最小，最小值为85.16．已知(－)n的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列．(1)证明：展开式中没有常数项；(2)求展开式中所有有理项．解析依题意，前三项系数的绝对值是1，Cn1()，Cn2()2，且2Cn1·＝1＋Cn2()2，即n2－9n＋8＝0，∴n＝8(n＝1舍去)，∴展开式的第k＋1项为C8k()8－k(－)k＝(－)kC8k·x·x－＝(－1)k··x.(1)证明：若第k＋1项为常数项，当且仅当＝0，即3k＝16， k∈Z，∴这不可能...
