第三章导数及其应用第1讲导数的概念与运算分层训练A级基础达标演练(时间：30分钟满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)等于________．解析f′(x)＝2x＋2f′(1)，所以f′(1)＝2＋2f′(1)，即f′(1)＝－2，f′(x)＝2x－4，故f′(0)＝－4.答案－42．(·扬州检测)已知直线ax－by－2＝0与曲线y＝x3在点P(1,1)处的切线互相垂直，则为________．解析y′＝(x3)′＝3x2，k＝3，由题意，3×＝－1，所以＝－.答案－3．(·辽宁卷)已知P，Q为抛物线x2＝2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，－2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为________．解析由y＝，得y′＝x，k1＝f′(4)＝4，k2＝f′(－2)＝－2，所以P(4,8)，Q(－2,2)．点P处切线方程为y－8＝4(x－4)，即y＝4x－8.①点Q处切线方程为y－2＝－2(x＋2)，即y＝－2x－2.②①②联立，解得A(1，－4)．答案－44．(·菏泽模拟)若函数f(x)＝excosx，则此函数图象在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为________(填锐角、直角或钝角)．解析f′(x)＝excosx－exsinx，因为函数图象在点(1，f(1))处的切线斜率k＝f′(1)＝e(cos1－sin1)＜0，所以切线的倾斜角是钝角．答案钝角5．(·南通、泰州、扬州三市调研(二))已知各项均为正数的等比数列{an}；满足a1a7＝4，a6＝8，函数f(x)＝a1x＋a2x2＋a3x3…＋＋a10x10的导数为f′(x)，则f′＝________.解析设{an}公比为q，则由得q＝2，a1＝，所以an＝2n－3，f′＝a1＋2a2×＋3a3×2…＋＋10a10×9＝＋2×＋3×…＋＋10×＝(1＋2＋3…＋＋10)×＝.答案6．(·青岛模拟)若点P是曲线y＝x2－lnx上任意一点，则点P到直线y＝x－2的距离的最小值是________．解析设P(t，t2－lnt)，由y′＝2x－，得k＝2t－＝1(t＞0)，解得t＝1.所以过点P(1,1)的切线方程为y＝x，它与y＝x－2的距离d＝＝即为所求．答案二、解答题(每小题15分，共30分)7．(·陕西卷)已知函数f(x)＝，g(x)＝alnx，a∈R，若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程．解f′(x)＝，g′(x)＝(x＞0)，由已知得解得a＝，x＝e2.因为两曲线交点坐标为(e2，e)，切线的斜率为k＝f′(e2)＝，所以切线方程为y－e＝(x－e2)，即x－2ey＋e2＝0.8．已知函数y＝f(x)＝.(1)求函数y＝f(x)的图象在x＝处的切线方程；(2)求函数y＝f(x)的最大值．解(1)因为f′(x)＝，所以k＝f′＝2e2.又f＝－e，所以y＝f(x)在x＝处的切线方程为y＋e＝2e2，即2e2x－y－3e＝0.(2)令f′(x)＝0，得x＝e.因为当x∈(0，e)时，f′(x)＞0，当x∈(e∞，＋)时，f′(x)＜0，所以f(x)在(0，e)上为增函数，在(e∞，＋)上为减函数，所以f(x)max＝f(e)＝.分层训练B级创新能力提升1．(·苏北四市调研(三))若曲线y＝在x＝1处的切线与直线x＋by＋1＝0垂直，则实数b的值为________．解析因为y＝，所以y′＝－，k＝f′(1)＝－3.又切线与x＋by＋1＝0垂直，所以－＝，解得b＝－3.答案－32．(·镇江市第一学期期末考试)已知函数y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝2x－1，则函数g(x)＝x2＋f(x)在点(2，g(2))处的切线方程为________．解析由y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝2x－1，得f′(2)＝2，f(2)＝3，于是由g(x)＝x2＋f(x)，得g′(x)＝2x＋f′(x)，从而g(2)＝22＋f(2)＝7，g′(2)＝2×2＋f′(2)＝6，所以y＝g(x)在点(2，g(2))处的切线方程为y－7＝6(x－2)，即6x－y－5＝0.答案6x－y－5＝03．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的导函数为f′(x)，且f′(0)＞0，对于任意实数x，有f(x)≥0，则的最小值为________．解析f′(x)＝2ax＋b，f′(0)＝b＞0，又所以ac≥，所以c＞0，≥≥所以＝＝2.答案24．(·南京模拟)已知直线y＝mx(m∈R)与函数f(x)＝的图象恰有三个不同的公共点，则实数m的取值范围是________．解析如图，可求得直线y＝x与y＝x2＋1(x＞0)的图象相切时恰有两个不同的公共点，当m＞时，直线y＝mx与y＝f(x)的图象恰有三个不同的公共点．答案(∞，＋)5．已知函数f(x)＝x3＋2x2＋3x(x∈R)的图象为曲线C，试问：是否存在一条直线与曲线C同时切于两点？若存在，求出符合条件的所有直线方程；若不存在，说明理由．解...
