第3讲用导数研究函数的最值分层训练A级基础达标演练(时间:30分钟满分:60分)一、填空题(每小题5分,共30分)1.函数f(x)=x3-3x+1在[-3,0]上的最大值,最小值分别为________.解析f′(x)=3x2-3,令f′(x)=0,解得x=-1或x=1,f(-3)=-17,f(-1)=3,f(1)=-1,f(0)=1.比较可得f(x)max=f(-1)=3,f(x)min=f(-3)=-17.答案3,-172.已知a>0,函数f(x)=x3-ax在[1∞,+)上单调递增,则a的最大值是________.解析因为f′(x)=3x2-a,所以由题意可得在[1∞,+)上有3x2-a≥0恒成立,所以a≤(3x2)min,而(3x2)min=3,所以a≤3.答案33.函数f(x)=-x3+x在(a,10-a2)上有最大值,则实数a的取值范围是________.解析由f′(x)=-x2+1,易知f(x)在(∞-,-1)上递减,在(-1,1)上递增,在(1∞,+)上递减.故函数在(a,10-a2)上存在最大值的条件为答案[-2,1)4.若函数f(x)=(a>0)在[1∞,+)上的最大值为,则a的值为________.答案-15.设函数f(x)=x3--2x+5,若对任意x∈[-1,2],都有f(x)>m,则实数m的取值范围是________.解析f′(x)=3x2-x-2=0,解得x=1或-,f(-1)=,f=,f(1)=,f(2)=7.∴m<.答案6.函数f(x)=ex(sinx+cosx)在区间上的值域为________.解析f′(x)=ex(sinx+cosx)+ex(cosx-sinx)=excosx,当0≤x≤时,f′(x)≥0,且只有在x=时,f′(x)=0,∴f(x)是上的增函数,∴f(x)的最大值为f=e,f(x)的最小值为f(0)=.∴f(x)在上的值域为.答案二、解答题(每小题15分,共30分)7.设函数f(x)=-x3+2ax2-3a2x+b,0<a<1.(1)求函数f(x)的单调区间、极值;(2)若x∈[0,3a],试求函数f(x)的最值.解(1)f′(x)=-x2+4ax-3a2.令f′(x)=0,解得x=a或x=3a,列表如下:x(∞-,a)a(a,3a)3a(3a∞,+)f′(x)-0+0-f(x)递减-a3+b递增b递减由表可知:当x∈(∞-,a)时,函数f(x)为减函数;当x∈(3a∞,+)时,函数f(x)也为减函数;当x∈(a,3a)时,函数f(x)为增函数.∴当x=a时,f(x)的极小值为-a3+b;当x=3a时,f(x)的极大值为b.(2)x∈[0,3a],列表如下:x0(0,a)a(a,3a)3af′(x)-0+0f(x)b递减-a3+b递增b由表知:当x∈(0,a)时,函数f(x)为减函数;当x∈(a,3a)时,函数f(x)为增函数.∴当x=a时,f(x)的最小值为-a3+b;当x=0或x=3a时,f(x)的最大值为b.8.(·莱芜市测试)已知函数f(x)=(x∈R).(1)求函数f(x)的单调区间和极值;(2)已知函数y=g(x)对任意x满足g(x)=f(4-x),证明当x>2时,f(x)>g(x);(3)如果x1≠x2,且f(x1)=f(x2),证明x1+x2>4.(1)解由f(x)=得f′(x)=.令f′(x)=0,解得x=2,则f′(x),f(x)的变化情况如下表:x(∞-,2)2(2∞,+)f′(x)+0-f(x)增极大值减所以f(x)在(∞-,2)内是增函数,在(2∞,+)内是减函数.函数f(x)在x=2时取得极大值f(2)=.(2)证明因为g(x)=f(4-x),所以g(x)=.令F(x)=f(x)-g(x),即F(x)=-,则F′(x)=-=.当x>2时,2-x<0,2x-1>3,从而e3-e2x-1<0,则函数F′(x)>0,F(x)在(2∞,+)上是增函数.所以F(x)>F(2)=-=0,故当x>2时,f(x)>g(x)成立.(3)证明因为f(x)在(∞-,2)内是增函数,在(2∞,+)内是减函数.x1≠x2,且f(x1)=f(x2),所以x1,x2不可能在同一单调区间内,不妨设x1<2<x2,由(2)可知f(x2)>g(x2),又g(x2)=f(4-x2),所以f(x2)>f(4-x2),因为f(x1)=f(x2),所以f(x1)>f(4-x2),因为x2>2,4-x2<2,x1<2,f(x)在区间(∞-,2)内为增函数,故x1>4-x2,即x1+x2>4.分层训练B级创新能力提升1.已知曲线f(x)=ax2+bx+c(a>0,b,c∈R)通过点P(0,2a2+8),在点Q(-1,f(-1))处的切线垂直于y轴,则的最小值为________.解析由已知曲线f(x)=ax2+bx+c(a>0,b,c∈R)通过点P(0,2a2+8)知c=2a2+8.又知其在点Q(-1,f(-1))处的切线垂直于y轴,∴f′(-1)=0,即-2a+b=0.∴==a+. a>0,∴=a≥+4,即的最小值为4.答案42.(·济宁模拟)已知函数f(x)的图象过点(0,-5),它的导数f′(x)=4x3-4x,则当f(x)取得极大值-5时,x的值应为________.解析易知f(x)=x4-2x2-5,f′(x)=0时,x=0或x=±1,只有...