高考数学一轮复习 第三章 第3讲 用导数研究函数的最值配套限时规范训练 理 苏教版VIP免费

第3讲用导数研究函数的最值分层训练A级基础达标演练(时间：30分钟满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．函数f(x)＝x3－3x＋1在[－3,0]上的最大值，最小值分别为________．解析f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝1，f(－3)＝－17，f(－1)＝3，f(1)＝－1，f(0)＝1.比较可得f(x)max＝f(－1)＝3，f(x)min＝f(－3)＝－17.答案3，－172．已知a＞0，函数f(x)＝x3－ax在[1∞，＋)上单调递增，则a的最大值是________．解析因为f′(x)＝3x2－a，所以由题意可得在[1∞，＋)上有3x2－a≥0恒成立，所以a≤(3x2)min，而(3x2)min＝3，所以a≤3.答案33．函数f(x)＝－x3＋x在(a,10－a2)上有最大值，则实数a的取值范围是________．解析由f′(x)＝－x2＋1，易知f(x)在(∞－，－1)上递减，在(－1,1)上递增，在(1∞，＋)上递减．故函数在(a,10－a2)上存在最大值的条件为答案[－2,1)4．若函数f(x)＝(a＞0)在[1∞，＋)上的最大值为，则a的值为________．答案－15．设函数f(x)＝x3－－2x＋5，若对任意x∈[－1,2]，都有f(x)＞m，则实数m的取值范围是________．解析f′(x)＝3x2－x－2＝0，解得x＝1或－，f(－1)＝，f＝，f(1)＝，f(2)＝7.∴m＜.答案6．函数f(x)＝ex(sinx＋cosx)在区间上的值域为________．解析f′(x)＝ex(sinx＋cosx)＋ex(cosx－sinx)＝excosx，当0≤x≤时，f′(x)≥0，且只有在x＝时，f′(x)＝0，∴f(x)是上的增函数，∴f(x)的最大值为f＝e，f(x)的最小值为f(0)＝.∴f(x)在上的值域为.答案二、解答题(每小题15分，共30分)7．设函数f(x)＝－x3＋2ax2－3a2x＋b,0＜a＜1.(1)求函数f(x)的单调区间、极值；(2)若x∈[0,3a]，试求函数f(x)的最值．解(1)f′(x)＝－x2＋4ax－3a2.令f′(x)＝0，解得x＝a或x＝3a，列表如下：x(∞－，a)a(a,3a)3a(3a∞，＋)f′(x)－0＋0－f(x)递减－a3＋b递增b递减由表可知：当x∈(∞－，a)时，函数f(x)为减函数；当x∈(3a∞，＋)时，函数f(x)也为减函数；当x∈(a,3a)时，函数f(x)为增函数．∴当x＝a时，f(x)的极小值为－a3＋b；当x＝3a时，f(x)的极大值为b.(2)x∈[0,3a]，列表如下：x0(0，a)a(a,3a)3af′(x)－0＋0f(x)b递减－a3＋b递增b由表知：当x∈(0，a)时，函数f(x)为减函数；当x∈(a,3a)时，函数f(x)为增函数．∴当x＝a时，f(x)的最小值为－a3＋b；当x＝0或x＝3a时，f(x)的最大值为b.8．(·莱芜市测试)已知函数f(x)＝(x∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)已知函数y＝g(x)对任意x满足g(x)＝f(4－x)，证明当x＞2时，f(x)＞g(x)；(3)如果x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)，证明x1＋x2＞4.(1)解由f(x)＝得f′(x)＝.令f′(x)＝0，解得x＝2，则f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(∞－，2)2(2∞，＋)f′(x)＋0－f(x)增极大值减所以f(x)在(∞－，2)内是增函数，在(2∞，＋)内是减函数．函数f(x)在x＝2时取得极大值f(2)＝.(2)证明因为g(x)＝f(4－x)，所以g(x)＝.令F(x)＝f(x)－g(x)，即F(x)＝－，则F′(x)＝－＝.当x＞2时，2－x＜0,2x－1＞3，从而e3－e2x－1＜0，则函数F′(x)＞0，F(x)在(2∞，＋)上是增函数．所以F(x)＞F(2)＝－＝0，故当x＞2时，f(x)＞g(x)成立．(3)证明因为f(x)在(∞－，2)内是增函数，在(2∞，＋)内是减函数．x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)，所以x1，x2不可能在同一单调区间内，不妨设x1＜2＜x2，由(2)可知f(x2)＞g(x2)，又g(x2)＝f(4－x2)，所以f(x2)＞f(4－x2)，因为f(x1)＝f(x2)，所以f(x1)＞f(4－x2)，因为x2＞2,4－x2＜2，x1＜2，f(x)在区间(∞－，2)内为增函数，故x1＞4－x2，即x1＋x2＞4.分层训练B级创新能力提升1．已知曲线f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0，b，c∈R)通过点P(0,2a2＋8)，在点Q(－1，f(－1))处的切线垂直于y轴，则的最小值为________．解析由已知曲线f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0，b，c∈R)通过点P(0,2a2＋8)知c＝2a2＋8.又知其在点Q(－1，f(－1))处的切线垂直于y轴，∴f′(－1)＝0，即－2a＋b＝0.∴＝＝a＋. a＞0，∴＝a≥＋4，即的最小值为4.答案42．(·济宁模拟)已知函数f(x)的图象过点(0，－5)，它的导数f′(x)＝4x3－4x，则当f(x)取得极大值－5时，x的值应为________．解析易知f(x)＝x4－2x2－5，f′(x)＝0时，x＝0或x＝±1，只有...