解析几何——难点突破——离心率专题离心率是圆锥曲线的重要几何性质，是描述圆锥曲线形状的重要参数．圆锥曲线的离心率的求法是一类常见题型，也是历年高考考查的热点．求解圆锥曲线的离心率的值或取值范围，其关键是建立恰当的等量或不等量关系，以过渡到含有离心率e的等式或不等式使问题获解．[典例](2016·全国卷Ⅲ)已知O为坐标原点，F是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为()[思路点拨]本题以椭圆内点线的交错关系为条件，而结论是椭圆的离心率，思考目标自然是要得到a，b，c满足的等量关系，那么方向不外乎两个：坐标关系或几何关系，抓住条件“直线BM经过OE的中点”作为突破口适当转化，获得所需等式．[方法演示]法一：数形结合法如图，设直线BM与y轴的交点为N，且点N的坐标为(0，m)，根据题意，点N是OE的中点，则E(0,2m)，从而直线AE的方程为x－a＋y2m＝1，因此点M的坐标为－c，2ma－ca.又△OBN∽△FBM，所以|FM||ON|＝|FB||OB|，即2ma－cam＝a＋ca，解得ca＝13，所以椭圆C的离心率为13.法二：交点法同法一得直线AE的方程为x－a＋y2m＝1，直线BN的方程为xa＋ym＝1.又因为直线AE与直线BN交于点M，且PF⊥x轴，可设M(－c，n)．则－c－a＋n2m＝1，－ca＋nm＝1，消去n，解得ca＝13，所以椭圆C的离心率为13.法三：三点共线法同法一得直线AE的方程为x－a＋y2m＝1，由题意可知M－c，2m1－ca，N(0，m)，B(a,0)三点共线，则2m1－ca－m－c＝m－a，解得ca＝13，所以椭圆C的离心率为13.法四：方程法设M(－c，m)，则直线AM的方程为y＝ma－c(x＋a)，所以E0，maa－c.直线BM的方程为y＝m－c－a(x－a)，与y轴交于点0，maa＋c，由题意知，2maa＋c＝maa－c，即a＋c＝2(a－c)，解得ca＝13，所以椭圆C的离心率为13.法五：几何法在△AOE中，MF∥OE，所以MFOE＝a－ca.在△BFM中，ON∥MF，所以OE2MF＝aa＋c，即OEMF＝2aa＋c.所以MFOE·OEMF＝a－ca·2aa＋c＝1，即a＋c＝2(a－c)，解得ca＝13，所以椭圆C的离心率为13.[答案]A[解题师说]1．本题的五种方法，体现出三个重要的数学解题策略.找到关键词确定解题的突破口“直线AE与直线BM相交于点M”“线段OE的中点”“点A，M，E三点共线”“点B，M，N三点共线”．适当设置参数或设点的坐标或根据解析几何知识解题几何观念几何性质是解析几何的灵魂，从平面几何知识入手，寻找图形中的平行、垂直关系，以及三角形的相似，然后转化为椭圆的元素a，b，c的齐次关系式解题方程思想椭圆(双曲线)离心率的问题，关键是寻找a，b，c的齐次关系式，进而求得离心率．由于椭圆(双曲线)的元素a，b，c在图形、方程中具有一定的几何意义，所以通常可借助坐标关系或几何关系来解决离心率的问题.2．在求解圆锥曲线(椭圆和双曲线)的离心率问题时，要把握一个基本思想，就是充分利用已知条件和挖掘隐含条件建立起a与c的关系式．[注意]在求离心率的值时需建立等量关系式，在求离心率的范围时需建立不等量关系式．[应用体验]1．(2018·新疆模拟)已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝π3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为()C．3D．2解析：选A依题意，不妨设点P在双曲线的右支上，F1，F2分别为其左、右焦点，设椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则有e1＝|F1F2||PF1|＋|PF2|，e2＝|F1F2||PF1|－|PF2|，则1e1＋1e2＝2|PF1||F1F2|.在△PF1F2中，易知∠F1F2P∈0，2π3，由正弦定理得|PF1||F1F2|＝sin∠F1F2Psin∠F1PF2＝23sin∠F1F2P，所以1e1＋1e2＝43sin∠F1F2P≤43＝433，当且仅当sin∠F1F2P＝1，即∠F1F2P＝π2时取等号，因此1e1＋1e2的最大值是433.2．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>1，b>0)的焦距为2c，直线l过点(a,0)和(0，b)，且点(1,0)到直线l的距离与点(－1,0)到直线l的距离之和s≥45c，则双曲线离心率的取值范围为__________．解析：设直线l的方程为xa＋yb＝1.由已知，点(1,0)到直线l的距离d1与点(－1,0)到直线l的距离d2之和s＝d1＋d2＝ba－1a2＋b2＋ba＋1a2＋b2＝2abc≥45c，整理得5ac2－a...
