——步骤规范练空间向量与立体几何(建议用时：90分钟)一、填空题1．已知a，b是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量c在直线l上，则c·a＝0且c·b＝0是l⊥α的________条件．解析若l⊥α，则l与a，b所在的直线垂直，∴c⊥a，c⊥b，∴c·a＝0，c·b＝0，是必要条件； a≠b，∴当a与b同向(或反向)时，由c·a＝0且c·b＝0可以推出c⊥a且c⊥b，但不能推出l⊥α，不是充分条件．答案必要不充分2．已知二面角α－l－β的大小为，m，n为异面直线，且m⊥α，n⊥β，则m，n所成角的度数为________．解析设m，n的方向向量分别为m，n.由m⊥α，n⊥β知m，n分别是平面α，β的法向量． |cos〈m，n〉|＝cos＝，∴〈m，n〉＝或.但由于两异面直线所成的角的范围是，故异面直线m，n所成的角为.答案3．在正四面体PABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中成立的是________．①BC∥平面PDF②DF⊥平面PAE③平面PDF⊥平面ABC④平面PAE⊥平面ABC解析 D，F为中点，∴DF∥BC，又DF⊂面PDF，BC⊄面PDF，∴BC∥面PDF，①正确； E为BC中点，正四面体P—ABC，∴AE⊥BC，∴PE⊥BC，∴BC⊥面PAE，∴DF⊥面PAE，②正确； BC⊂面ABC，∴面ABC⊥面PAE，④正确．假设平面PDF⊥平面ABC，则顶点P在底面的射影在DF上，又因为正四面体的顶点在底面的射影是底面的中心，因此假设不成立，故③不成立．答案①②④4．(·潍坊二模)已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出四个命题：①若α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则α⊥β；②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；④若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β.其中正确的命题是________．解析命题①中，α与β不一定垂直，不正确；垂直于同一条直线的两个平面平行，命题②正确；易知，命题③正确，命题④不正确．答案②③5．在以下命题中，不正确的个数为________．①|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件；②若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb；③对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若OP＝2OA－2OB－OC，则P，A，B，C四点共面；④若{a，b，c}为空间的一个基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间的另一个基底；⑤|(a·b)·c|＝|a|·|b|·|c|.解析①|a|－|b|＝|a＋b|⇒a与b共线，但a与b共线时|a|－|b|＝|a＋b|不一定成立，故不正确；②b需为非零向量，故不正确；③因为2－2－1≠1，由共面向量定理知，不正确；④由基底的定义知正确；⑤由向量的数量积的性质知，不正确．答案46．如图所示，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E，F分别是CC1，AD的中点．那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于________．解析建立如图所示的空间直角坐标系，则O(1,1,0)，E(0,2,1)，D1(0,0,2)，F(1,0,0)，OE＝(－1，1,1)，FD1＝(－1,0,2)，∴OE·FD1＝3，|OE|＝，|FD1|＝，∴cos〈OE，FD1〉＝＝.即OE与FD1所成的角的余弦值为.答案7．已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于________．解析设A1在面ABC内的射影为O，过O作OH∥BC交AB于点H，以O为坐标原点，OA，OH，OA1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．设△ABC边长为1，则A，B1，∴AB1＝.面ABC的法向量n＝(0,0,1)，则AB1与底面ABC所成角α的正弦值为sinα＝|cos〈AB1，n〉|＝＝.答案8．如图为棱长是1的正方体的表面展开图，在原正方体中，给出下列三个命题：①点M到AB的距离为；②三棱锥C－DNE的体积是；③AB与EF所成的角是其中正确命题的序号是________．解析依题意可作出正方体的直观图如图，显然M到AB的距离为MC＝，∴①正确；而VC－DNE＝××1×1×1＝，∴②正确；AB与EF所成的角等于AB与MC所成的角，即为，∴③正确．答案①②③9．正△ABC与正△BCD所在平面垂直，则二面角A－BD－C的正弦值为_______．解析取BC中点O，连接AO，DO.建立如图所示坐标系，设BC＝1，则A，B，D.∴OA＝，BA＝，BD＝.由于OA＝为平面BCD的一个法向量，可进一步求出平面ABD的一个法向量n＝(1，－，1)，∴cos〈n，OA〉＝，∴sin〈n，OA〉＝.答案10．正三棱柱ABCA1B1C1的棱长都为2，E，F，G为AB，AA1...
