不等式选讲第1讲不等式、含有绝对值的不等式[最新考纲]1．理解绝对值三角不等式的代数证明和几何意义，能利用绝对值三角不等式证明一些简单的绝对值不等式．2．掌握|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法.知识梳理1．绝对值三角不等式(1)定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立；(2)性质：|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|；(3)定理2：如果a，b，c是实数，则|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．2．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|
a的解法不等式a>0a＝0a<0|x|a{x|x>a，或x<－a}{x|x∈R，且x≠0}R(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．诊断自测1．不等式1＜|x＋1|＜3的解集为________．解析数轴上的点到－1的距离大于1且小于3的全体实数为所求解集．答案(－4，－2)∪(0,2)2．设ab＞0，下面四个不等式中，正确命题的序号是________．①|a＋b|＞|a|；②|a＋b|＜|b|；③|a＋b|＜|a－b|；④|a＋b|＞|a|－|b|.解析 ab＞0，∴a，b同号，∴|a＋b|＝|a|＋|b|，∴①和④正确．答案①④3．不等式|x－8|－|x－4|＞2的解集为________．解析令：f(x)＝|x－8|－|x－4|＝当x≤4时，f(x)＝4＞2；当4＜x≤8时，f(x)＝－2x＋12＞2，得x＜5，∴4＜x＜5；当x＞8时，f(x)＝－4＞2不成立．故原不等式的解集为：{x|x＜5}．答案{x|x＜5}4．(·山东卷)若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k＝________.解析 |kx－2|≤2，∴－2≤kx－4≤2，∴2≤kx≤6. 不等式的解集为{x|1≤x≤3}，∴k＝2.答案25．已知关于x的不等式|x－1|＋|x|≤k无解，则实数k的取值范围是________．解析 |x－1|＋|x|≥|x－1－x|＝1，∴当k＜1时，不等式|x－1|＋|x|≤k无解，故k＜1.答案(－∞，1)考点一含绝对值不等式的解法【例1】解不等式|x－1|＋|x＋2|≥5.解法一如图，设数轴上与－2,1对应的点分别是A，B，则不等式的解就是数轴上到A、B两点的距离之和不小于5的点所对应的实数．显然，区间[－2,1]不是不等式的解集．把A向左移动一个单位到点A1，此时A1A＋A1B＝1＋4＝5.把点B向右移动一个单位到点B1，此时B1A＋B1B＝5，故原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．法二原不等式|x－1|＋|x＋2|≥5⇔或或解得x≥2或x≤－3，∴原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．法三将原不等式转化为|x－1|＋|x＋2|－5≥0.令f(x)＝|x－1|＋|x＋2|－5，则f(x)＝作出函数的图象，如图所示．由图象可知，当x∈(－∞，－3]∪[2，＋∞)时，y≥0，∴原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．规律方法形如|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a]，(a，b]，(b，＋∞)(此处设a＜b)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．(2)几何法：利用|x－a|＋|x－b|＞c(c＞0)的几何意义：数轴上到点x1＝a和x2＝b的距离之和大于c的全体，|x－a|＋|x－b|≥|x－a－(x－b)|＝|a－b|.(3)图象法：作出函数y1＝|x－a|＋|x－b|和y2＝c的图象，结合图象求解．【训练1】解不等式|x＋3|－|2x－1|＜＋1.解①当x＜－3时，原不等式化为－(x＋3)－(1－2x)＜＋1，解得x＜10，∴x＜－3.②当－3≤x＜时，原不等式化为(x＋3)－(1－2x)＜＋1，解得x＜－，∴－3≤x＜－.③当x≥时，原不等式化为(x＋3)－(2x－1)＜＋1，解得x＞2，∴x＞2.综上可知，原不等式的解集为.考点二含参数的绝对值不等式问题【例2】已知不等式|x＋1|－|x－3|＞a.分别求出下列情形中a的取值范围．(1)不等式有解；(2)不等式的解集为R；(3)不等式的解集为∅.解法一因为|x＋1|－|x－3|表示数轴上的点P(x)与两定点A...
