常考问题2函数与方程及函数的应用(建议用时：50分钟)1．若函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，则实数a的取值范围是________．解析由题意知即为方程x2＋2x＋a＝0无实数解，即4－4a＜0，解得a＞1.答案(1，＋∞)2．已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为________．解析当x≤1时，由f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；当x>1时，由f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝，又因为x>1，所以此时方程无解．综上，函数f(x)的零点只有0.答案03．函数f(x)＝x－sinx在区间[0,2π]上的零点个数为________．解析在同一坐标系内作出函数y＝x及y＝sinx在[0,2π]上的图象，发现它们有两个交点，即函数f(x)在[0,2π]上有两个零点．答案24．(·苏州模拟)函数f(x)对一切实数x都满足f＝f，并且方程f(x)＝0有三个实根，则这三个实根的和为________．解析函数图象关于直线x＝对称，方程f(x)＝0有三个实根时，一定有一个是，另外两个关于直线x＝对称，其和为1，故方程f(x)＝0的三个实根之和为.答案5．一块形状为直角三角形的铁皮，两直角边长分别为40cm、60cm，现要将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角，则矩形的最大面积是________cm2.解析设直角边为40cm和60cm上的矩形边长分别为xcm、ycm，则＝，解得y＝60－x.矩形的面积S＝xy＝x＝－(x－20)2＋600，当x＝20时矩形的面积最大，此时S＝600.答案6006．已知函数f(x)＝－x2－2x，g(x)＝(1)g[f(1)]＝________；(2)若方程g[f(x)]－a＝0的实数根的个数有4个，则a的取值范围是________．解析(1)利用解析式直接求解得g[f(1)]＝g(－3)＝－3＋1＝－2；(2)令f(x)＝t，则g(t)＝a，要使原方程有4解，则方程f(x)＝t在t＜1时有2个不同解，即函数y＝g(t)，t＜1与y＝a有两个不同的交点，作出函数y＝g(t)，t＜1的图象，由图象可知1≤a＜时，函数y＝g(t)，t＜1与y＝a有两个不同的交点，即所求a的取值范围是.答案(1)－2(2)7．已知[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.8]＝1，[－1.2]＝－2.x0是函数f(x)＝lnx－的零点，则[x0]＝________.解析 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，∴函数f′(x)＝＋>0，即函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．由f(2)＝ln2－1<0，f(e)＝lne－>0，知x0∈(2，e)，∴[x0]＝2.答案28．(·南师附中模拟)如图，线段EF的长度为1，端点E、F在边长不小于1的正方形ABCD的四边上滑动，当E、F沿着正方形的四边滑动一周时，EF的中点M所形成的轨迹为G，若G的周长为l，其围成的面积为S，则l－S的最大值为________．解析设正方形的边长为a(a≥1)，当E、F沿着正方形的四边滑动一周时，EF的中点G的轨迹如图，是由半径均为的四段圆弧、长度均为a－1四条线段围成的封闭图形，周长l＝π＋4(a－1)，面积S＝a2－π，所以l－S＝－a2＋4a＋π－4，a≥1，由二次函数知识得当a＝2时，l－S取得最大值.答案9．设函数f(x)＝ax2＋bx＋b－1(a≠0)．(1)当a＝1，b＝－2时，求函数f(x)的零点；(2)若对任意b∈R，函数f(x)恒有两个不同零点，求实数a的取值范围．解(1)当a＝1，b＝－2时，f(x)＝x2－2x－3，令f(x)＝0，得x＝3或x＝－1.∴函数f(x)的零点为3和－1.(2)依题意，f(x)＝ax2＋bx＋b－1＝0有两个不同实根．∴b2－4a(b－1)>0恒成立，即对于任意b∈R，b2－4ab＋4a>0恒成立，所以有(－4a)2－4(4a)<0⇒a2－a<0，所以0
