解答题押题练A组1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c＝2，C＝60°.(1)求的值；(2)若a＋b＝ab，求△ABC的面积．解(1)由正弦定理可设＝＝＝＝＝，所以a＝sinA，b＝sinB，(3分)所以＝＝.(6分)(2)由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC，即4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，(7分)又a＋b＝ab，所以(ab)2－3ab－4＝0.解得ab＝4或ab＝－1(舍去)．(12分)所以S△ABC＝absinC＝×4×＝.(14分)2．如图，正方形ABCD和三角形ACE所在的平面互相垂直，EF∥BD，AB＝EF.(1)求证：BF∥平面ACE；(2)求证：BF⊥BD.证明(1)AC与BD交于O点，连接EO.正方形ABCD中，BO＝AB，又因为AB＝EF，∴BO＝EF，又因为EF∥BD，∴EFBO是平行四边形，∴BF∥EO，又 BF⊄平面ACE，EO⊂平面ACE，∴BF∥平面ACE.(7分)(2)正方形ABCD中，AC⊥BD，又因为正方形ABCD和三角形ACE所在的平面互相垂直，BD⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面ACE＝AC，∴BD⊥平面ACE， EO⊂平面ACE，∴BD⊥EO， EO∥BF，∴BF⊥BD.(14分)3．经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，旅游人数f(t)(万人)与时间t(天)的函数关系近似满足f(t)＝4＋，人均消费g(t)(元)与时间t(天)的函数关系近似满足g(t)＝115－|t－15|.(1)求该城市的旅游日收益w(t)(万元)与时间t(1≤t≤30，t∈N*)的函数关系式；(2)求该城市旅游日收益的最小值(万元)．解(1)由题意得，w(t)＝f(t)·g(t)＝(115－|t－15|)(1≤t≤30，t∈N*)．(5分)(2)因为w(t)＝(7分)①当1≤t＜15时，w(t)＝(t＋100)＝4＋401≥4×2＋401＝441，当且仅当t＝，即t＝5时取等号．(10分)②当15≤t≤30时，w(t)＝(130－t)＝519＋，可证w(t)在t∈[15,30]上单调递减，所以当t＝30时，w(t)取最小值为403.(13分)由于403＜441，所以该城市旅游日收益的最小值为403万元．(14分)4．如图，已知椭圆C：＋y2＝1，A、B是四条直线x＝±2，y＝±1所围成的两个顶点．(1)设P是椭圆C上任意一点，若OP＝mOA＋nOB，求证：动点Q(m，n)在定圆上运动，并求出定圆的方程；(2)若M、N是椭圆C上两上动点，且直线OM、ON的斜率之积等于直线OA、OB的斜率之积，试探求△OMN的面积是否为定值，说明理由．(1)证明易求A(2,1)，B(－2,1)．(2分)设P(x0，y0)，则＋y＝1.由OP＝mOA＋nOB，得所以＋(m＋n)2＝1，即m2＋n2＝.故点Q(m，n)在定圆x2＋y2＝上．(8分)(2)解设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则＝－.平方得xx＝16yy＝(4－x)(4－x)，即x＋x＝4.(10分)因为直线MN的方程为(x2－x1)x－(y2－y1)y＋x1y2－x2y1＝0，所以O到直线MN的距离为d＝，(12分)所以△OMN的面积S＝MN·d＝|x1y2－x2y1|＝＝＝＝1.故△OMN的面积为定值1.(16分)5．已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足8Sn＝a＋4an＋3(n∈N*)，且a1，a2，a7依次是等比数列{bn}的前三项．(1)求数列{an}及{bn}的通项公式；(2)是否存在常数a＞0且a≠1，使得数列{an－logabn}(n∈N*)是常数列？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．解(1)n＝1时，8a1＝a＋4a1＋3，a1＝1或a1＝3.(2分)当n≥2时，8Sn－1＝a＋4an－1＋3，an＝Sn－Sn－1＝(a＋4an－a－4an－1)，从而(an＋an－1)(an－an－1－4)＝0因为{an}各项均为正数，所以an－an－1＝4.(6分)所以，当a1＝1时，an＝4n－3；当a1＝3时，an＝4n－1.又因为当a1＝1时，a1，a2，a7分别为1,5,25，构成等比数列，所以an＝4n－3，bn＝5n－1.当a1＝3时，a1，a2，a7分别为3,7,27，不构成等比数列，舍去．(11分)(2)假设存在a，理由如下：(12分)由(1)知，an＝4n－3，bn＝5n－1，从而an－lonabn＝4n－3－loga5n－1＝4n－3－(n－1)·loga5＝(4－loga5)n－3＋loga5.由题意，得4－loga5＝0，所以a＝.(16分)6．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋1(a∈R)，f′(x)是f(x)的导函数．(1)若x∈[－2，－1]，不等式f(x)≤f′(x)恒成立，求a的取值范围；(2)解关于x的方程f(x)＝|f′(x)|；(3)设函数g(x)＝，求g(x)在x∈[2,4]时的最小值．解(1)因为f(x)≤f′(x)，所以x2－2x＋1≤2a(1－x)，又因为－2≤x≤－1，所以a≥max在x∈[－2，－1]时恒成立，因为＝≤，所以a≥.(4分)(2)因为f(x)＝|f′(x)|，所以x2＋2ax＋1＝2|x＋a|，所以(x＋a)2－2|x＋a|＋1－a2＝0，则|x＋a|＝1＋a或|x＋a|＝1－a....
