解答题押题练C组1．已知向量m＝，n＝.(1)若m·n＝1，求cos的值；(2)记f(x)＝m·n，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2a－c)cosB＝bcosC，求函数f(A)的取值范围．解(1)m·n＝sincos＋cos2＝sin＋cos＋＝sin＋.(3分)因为m·n＝1，所以sin＝，故cos＝1－2sin2＝，所以cos＝－cos＝－.(6分)(2)因为(2a－c)cosB＝bcosC，由正弦定理得(2sinA－sinC)cosB＝sinBcosC，即2sinAcosB－sinCcosB＝sinBcosC，所以2sinAcosB＝sin(B＋C)，(8分)又因为A＋B＋C＝π，所以sin(B＋C)＝sinA，且sinA≠0，所以cosB＝，B＝，0＜A＜，所以＜＋＜，＜sin＜1，(12分)又f(x)＝m·n＝sin＋，所以f(A)＝sin＋∈，故函数f(A)的取值范围是.(14分)2．如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AC⊥CD，∠DAC＝60°，AB＝BC＝AC，E是PD的中点，F为ED的中点．(1)求证：平面PAC⊥平面PCD；(2)求证：CF∥平面BAE.证明(1)因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，(2分)又AC⊥CD，且AC∩PA＝A，所以CD⊥平面PAC，(4分)又CD⊂平面PCD，所以平面PAC⊥平面PCD.(7分)(2)取AE中点G，连接FG，BG.因为F为ED的中点，所以FG∥AD且FG＝AD.(9分)在△ACD中，AC⊥CD，∠DAC＝60°，所以AC＝AD，所以BC＝AD.(11分)在△ABC中，AB＝BC＝AC，所以∠ACB＝60°，从而∠ACB＝∠DAC，所以AD∥BC.综上，FG∥BC，FG＝BC，四边形FGBC为平行四边形，所以CF∥BG.(13分)又BG⊂平面BAE，CF⊄平面BAE，所以CF∥平面BAE.(14分)3．某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元到1000万元的投资收益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：资金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%.(1)若建立函数y＝f(x)模型制定奖励方案，试用数学语言表述该公司对奖励函数f(x)模型的基本要求，并分析函数y＝＋2是否符合公司要求的奖励函数模型，并说明原因；(2)若该公司采用模型函数y＝作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a的值．解(1)设奖励函数模型为y＝f(x)，按公司对函数模型的基本要求，函数y＝f(x)满足：当x∈[10,1000]时，①f(x)在定义域[10,1000]上是增函数；②f(x)≤9恒成立；③f(x)≤恒成立．(2分)对于函数模型f(x)＝＋2.当x∈[10,1000]时，f(x)是增函数，(3分)f(x)max＝f(1000)＝＋2＝＋2＜9.所以f(x)≤9恒成立．但x＝10时，f(10)＝＋2＞，即f(x)≤不恒成立，故该函数模型不符合公司要求．(6分)(2)对于函数模型f(x)＝，即f(x)＝10－，当3a＋20＞0，即a＞－时递增；(8分)要使f(x)≤9对x∈[10,1000]恒成立，即f(1000)≤9,3a＋18≥1000，a≥；(10分)要使f(x)≤对x∈[10,1000]恒成立，即≤，x2－48x＋15a≥0恒成立，所以a≥.(12分)综上所述，a≥，所以满足条件的最小的正整数a的值为328.(14分)4．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)上任一点P到两个焦点的距离的和为2，P与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积为－.设直线l过椭圆C的右焦点F，交椭圆C于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)．(1)若OA·OB＝(O为坐标原点)，求|y1－y2|的值；(2)当直线l与两坐标轴都不垂直时，在x轴上是否总存在点Q，使得直线QA，QB的倾斜角互为补角？若存在，求出点Q坐标；若不存在，请说明理由．解(1)由椭圆的定义知a＝，设P(x，y)，则有·＝－，则＝－，又点P在椭圆上，则＝－＝－，∴b2＝2，∴椭圆C的方程是＋＝1.(3分) OA·OB＝，∴|OA|·|OB|cos∠AOB＝，∴|OA|·|OB|sin∠AOB＝4，∴S△AOB＝|OA|·|OB|sin∠AOB＝2，又S△AOB＝|y1－y2|×1，故|y1－y2|＝4.(7分)(2)假设存在一点Q(m,0)，使得直线QA，QB的倾斜角互为补角，依题意可知直线l斜率存在且不为零，直线l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，由消去y得(3k2＋2)x2－6k2x＋3k2－6＝0，(9分)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1·x2＝. 直线QA，QB的倾斜角互为补角，∴kQA＋kQB＝0，即＋＝0，(13分)又y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，代入上式可得2x1x2＋2m－(m＋1)(x1＋x2)＝0，∴2×＋2m－(m＋1)×＝0，即2m－6＝0，∴m＝3，∴存在Q(3,0)使得直线QA，QB的倾斜角互为补角．(16分)5．已知函数f(x)＝x2－(1＋2a)x＋alnx(a为常数)．(1)当a＝－1时，求曲线y＝f(x)在x＝1...
