解答题押题练D组1．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosB＝ccosB＋bcosC.(1)求角B的大小；(2)设向量m＝(cosA，cos2A)，n＝(12，－5)，求当m·n取最大值时，tanC的值．解(1)由题意，sinAcosB＝sinCcosB＋cosCsinB，(2分)所以sinAcosB＝sin(B＋C)＝sin(π－A)＝sinA．(3分)因为0＜A＜π，所以sinA≠0.所以cosB＝.(5分)因为0＜B＜π，所以B＝.(6分)(2)因为m·n＝12cosA－5cos2A，(8分)所以m·n＝－10cos2A＋12cosA＋5＝－102＋.(10分)所以当cosA＝时，m·n取最大值．此时sinA＝(0＜A＜)，于是tanA＝.(12分)所以tanC＝－tan(A＋B)＝－＝7.(14分)2．在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝BC＝AD＝2，CD＝4，E为边DC的中点，如图1.将△ADE沿AE折起到△AEP位置，连PB、PC，点Q是棱AE的中点，点M在棱PC上，如图2.(1)若PA∥平面MQB，求PM∶MC；(2)若平面AEP⊥平面ABCE，点M是PC的中点，求三棱锥AMQB的体积．图1图2解(1)连AC、BQ，设AC∩BQ＝F，连MF.则平面PAC∩平面MQB＝MF，因为PA∥平面MQB，PA⊂平面PAC，所以PA∥MF.(2分)在等腰梯形ABCD中，E为边DC的中点，所以由题设，AB＝EC＝2.所以四边形ABCE为平行四边形，则AE∥BC.(4分)从而△AFQ∽△CFB，AF∶FC＝AQ∶CB＝1∶2.又PA∥MF，所以△FMC∽△APC，所以PM∶MC＝AF∶FC＝1∶2.(7分)(2)由(1)知，△AED是边长为2的正三角形，从而PQ⊥AE.因为平面AEP⊥平面ABCE，交线为AE，所以PQ⊥平面ABCE，PQ⊥QB，且PQ＝.因为PQ⊂平面PQC，所以平面PQC⊥平面ABCE，交线为QC.(9分)过点M作MN⊥QC于N，则MN⊥平面ABCE，所以MN是三棱锥MABQ的高．因为PQ⊥平面ABCE，MN⊥平面ABCE，所以PQ∥MN.因为点M是PC的中点，所以MN＝PQ＝.(11分)由(1)知，△ABE为正三角形，且边长为2.所以，S△ABQ＝.三棱锥AMQB的体积VAMQB＝VMABQ＝××＝.(14分)3．如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，△ABC外的地方种草，△ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余的地方种花，若BC＝a，∠ABC＝θ，设△ABC的面积为S1，正方形的PQRS面积为S2.(1)用a，θ表示S1和S2；(2)当a固定，θ变化时，求的最小值．解(1)S1＝asinθ·acosθ＝a2sin2θ，设正方形边长为x，则BQ＝，RC＝xtanθ，∴＋xtanθ＋x＝a，∴x＝＝，(4分)S2＝2＝，(6分)(2)当a固定，θ变化时，＝，令sin2θ＝t，则＝(0＜t≤1)，利用单调性求得t＝1时，min＝.(14分)4．若两个椭圆的离心率相等，则称它们为“相似椭圆”．如图，在直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：＋＝1，A1，A2分别为椭圆C1的左、右顶点．椭圆C2以线段A1A2为短轴且与椭圆C1为“相似椭圆”．(1)求椭圆C2的方程；(2)设P为椭圆C2上异于A1，A2的任意一点，过P作PQ⊥x轴，垂足为Q，线段PQ交椭圆C1于点H.求证：H为△PA1A2的垂心．(垂心为三角形三条高的交点)(1)解由题意可知A1(－，0)，A2(，0)，椭圆C1的离心率e＝.(3分)设椭圆C2的方程为＋＝1(a＞b＞0)，则b＝.因为＝＝，所以a＝2.所以椭圆C2的方程为＋＝1.(6分)(2)证明设P(x0，y0)，y0≠0，则＋＝1，从而y＝12－2x.将x＝x0代入＋＝1得＋＝1，从而y2＝3－＝，即y＝±.因为P，H在x轴的同侧，所以取y＝，即H(x0，)．(12分)所以kA1P·kA2H＝·＝＝＝－1，从而A1P⊥A2H.又因为PH⊥A1A2，所以H为△PA1A2的垂心．(16分)5．已知函数f(x)＝alnx＝(a为常数)．(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x＋2y－5＝0垂直，求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)当x≥1时，f(x)≤2x－3恒成立，求a的取值范围．解(1)函数f(x)的定义域为{x|x＞0}，f′(x)＝.又曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x＋2y－5＝0垂直，所以f′(1)＝a＋1＝2，即a＝1.(4分)(2)由f′(x)＝(x＞0)，当a≥0时，f′(x)＞0恒成立，所以f(x)的单调增区间为(0，＋∞)．当a＜0时，由f′(x)＞0，得0＜x＜－，所以f(x)的单调增区间为；由f′(x)＜0，得x＞－，所以f(x)的单调减区间为.(10分)(3)设g(x)＝alnx－－2x＋3，x∈[1，＋∞)，则g′(x)＝＋－2＝.令h(x)＝－2x2＋ax＋1，考虑到h(0)＝1＞0，当a≤1时，h(x)＝－2x2＋ax＋1的对称轴x＝＜1，h(x)在[1，＋∞)上是减函数，h(x)≤h(1)＝a－1≤0，所以g′(x)≤0，g(x)在[1，＋∞)上是减函数，所...
