常考问题6三角恒等变换与解三角形(建议用时：50分钟)1．(·济宁二模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝1，B＝45°，S△ABC＝2，则b等于________．解析∵S＝acsinB＝2，∴×1×c×sin45°＝2.∴c＝4.∴b2＝a2＋c2－2accosB＝1＋32－2×1×4×cos45°.∴b2＝25，b＝5.答案52．(·北京东城区期末)在△ABC中，A，B，C为内角，且sinAcosA＝sinBcosB，则△ABC是________三角形．解析由sinAcosA＝sinBcosB得sin2A＝sin2B＝sin(π－2B)，所以2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝，所以△ABC为等腰或直角三角形．答案等腰或直角3．(·浙江卷改编)已知α∈R，sinα＋2cosα＝，则tan2α等于________．解析∵sinα＋2cosα＝，∴sin2α＋4sinα·cosα＋4cos2α＝.化简，得4sin2α＝－3cos2α，∴tan2α＝＝－.答案－4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，则cosC等于________．解析先用正弦定理求出角B的余弦值，再求解．由＝，且8b＝5c，C＝2B，所以5csin2B＝8csinB，所以cosB＝.所以cosC＝cos2B＝2cos2B－1＝.答案5．已知tanβ＝，sin(α＋β)＝，其中α，β∈(0，π)，则sinα的值为________．解析依题意得sinβ＝，cosβ＝；注意到sin(α＋β)＝(否则，若α＋β≤，则有0<β<α＋β≤，0
