常考问题9数列的综合应用(建议用时：50分钟)1．数列{an}的通项公式an＝，若{an}的前n项和为24，则n为________．解析an＝＝－(－)，前n项和Sn＝－[(1－)＋(－)]＋…＋(－)]＝－1＝24，故n＝624.答案6242．在等差数列{an}中，a1＝142，d＝－2，从第一项起，每隔两项取出一项，构成新的数列{bn}，则此数列的前n项和Sn取得最大值时n的值是________．解析因为从第一项起，每隔两项取出一项，构成数列{bn}，所以新数列的首项为b1＝a1＝142，公差为d′＝－2×3＝－6，则bn＝142＋(n－1)(－6)．令bn≥0，解得n≤24，因为n∈N*，所以数列{bn}的前24项都为正数项，从25项开始为负数项．因此新数列{bn}的前24项和取得最大值．答案243．(·盐城模拟)已知各项都为正的等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，存在两项am，an使得＝4a1，则＋的最小值为________．解析由a7＝a6＋2a5，得a1q6＝a1q5＋2a1q4，整理有q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(与条件中等比数列的各项都为正矛盾，舍去)，又由＝4a1，得aman＝16a，即a2m＋n－2＝16a，即有m＋n－2＝4，亦即m＋n＝6，那么＋＝(m＋n)＝≥＝，当且仅当＝，即n＝2m＝4时取得最小值.答案4．在正项数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an＋3×5n，则数列{an}的通项公式为________．解析在递推公式an＋1＝2an＋3×5n的两边同时除以5n＋1，得＝×＋，①令＝bn，则①式变为bn＋1＝bn＋，即bn＋1－1＝(bn－1)，所以数列{bn－1}是等比数列，其首项为b1－1＝－1＝－，公比为.所以bn－1＝×n－1，即bn＝1－×n－1＝，故an＝5n－3×2n－1.答案an＝5n－3×2n－15．(·聊城模拟)已知首项为正数的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1006和a1007是方程x2－2012x－2011＝0的两根，则使Sn>0成立的正整数n的最大值是________．解析由题意知，a1006＋a1007＝2012>0，a1006·a1007＝－2011<0，又因首项为正等差数列，所以a1006>0，a1007<0,2a1006＝a1＋a2011>0,2a1007＝a1＋a2013<0，即S2011>0，S2013<0，又因Sn＝，n的最大值为2011.答案20116．已知函数f(x)＝cosx(x∈(0,2π))有两个不同的零点x1，x2，方程f(x)＝m有两个不同的实根x3，x4.若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m的值为________．解析不妨设x10.所以Sn＝n2＋n.n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n，n＝1时，a1＝S1＝2适合上式．∴an＝2n.(2)证明由an＝2n，得bn＝＝＝Tn＝＝<＝.10．已知函数f(x)＝(x－1)2，g(x)＝4(x－1)，数列{an}是各项均不为0的等差数列，其前n项和为Sn，点(an＋1，S2n－1)在函数f(x)的图象上；数列{bn}满足b1＝2，bn≠1，且(bn－bn＋1)·g(bn)＝f(bn)(n∈N＋)．(1)求an并证明数列{bn－1}是等比数列；(2)若数列{cn}满足cn＝，证明：c1＋c2＋c3＋…＋cn<3.(1)解因为点(an＋1，S2n－1)在函...
