常考问题3不等式问题(建议用时：50分钟)1．(·枣庄二模)已知a>0，b>0，且2a＋b＝4，则的最小值为________．解析由4＝2a＋b≥2，得ab≤2，又a>0，b>0≥，所以，当且仅当a＝1，b＝2时等号成立．答案2．(·湖北卷改编)已知全集为R，集合A＝，B＝，则A∩∁RB等于________．解析A＝{x|x≥0}，B＝{x|2≤x≤4}．∴A∩∁RB＝{x|x≥0}∩{x|x>4，或x<2}＝{x|0≤x<2，或x>4}．答案{x|0≤x<2，或x>4}3．(·江苏)设实数x，y满足3≤xy2≤8,4≤≤9，则的最大值是________．解析根据不等式的基本性质求解.2∈[16,81]，∈，＝2·∈[2,27]，的最大值是27.答案274．(·新课标全国Ⅱ卷改编)已知a>0，x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为1，则a等于________．解析由已知约束条件，作出可行域如图中△ABC内部及边界部分，由目标函数z＝2x＋y的几何意义为直线l：y＝－2x＋z在y轴上的截距，知当直线l过可行域内的点B(1，－2a)时，目标函数z＝2x＋y的最小值为1，则2－2a＝1，解得a＝.答案5．(·四川卷)已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，那么，不等式f(x＋2)<5的解集是________．解析当x≥0时，f(x)＝x2－4x<5的解集为[0,5)，又f(x)为偶函数，所以f(x)<5的解集为(－5,5)．由于f(x)向左平移两个单位即得f(x＋2)，故f(x＋2)<5的解集为{x|－7b>0，则a2＋＋的最小值是________．解析a2＋＋＝a2－ab＋ab＋＋＝a(a－b)＋＋ab≥＋2＋2＝4.当且仅当a(a－b)＝1且ab＝1，即a＝，b＝时取等号．答案48．(·广东卷)给定区域D：令点集T＝{(x0，y0)∈D|x0，y0∈Z，(x0，y0)是z＝x＋y在D上取得最大值或最小值的点}，则T中的点共确定________条不同的直线．解析作出图形可知，△ABF所围成的区域即为区域D，其中A(0,1)是z在D处取得最小值点，B，C，D，E，F是z在D上取得最大值的点，则T中的点共确定AB，AC，AD，AE，AF，BF共6条不同的直线．答案69．已知函数f(x)＝.(1)若f(x)>k的解集为{x|x<－3，或x>－2}，求k的值；(2)对任意x>0，f(x)≤t恒成立，求t的取值范围．解(1)f(x)>k⇔kx2－2x＋6k<0.由已知{x|x<－3，或x>－2}是其解集，得kx2－2x＋6k＝0的两根是－3，－2.由根与系数的关系可知(－2)＋(－3)＝，即k＝－.(2)∵x>0，f(x)≤＝＝＝，当且仅当x＝时取等号．由已知f(x)≤t对任意x>0恒成立，故t≥，即t的取值范围是.10．(·金华十校模拟)已知函数f(x)＝ax3－x2＋cx＋d(a，c，d∈R)满足f(0)＝0，f′(1)＝0，且f′(x)≥0在R上恒成立．(1)求a，c，d的值；(2)若h(x)＝x2－bx＋－，解不等式f′(x)＋h(x)<0.解(1)∵f(0)＝0，∴d＝0，∵f′(x)＝ax2－x＋c.又f′(1)＝0，∴a＋c＝.∵f′(x)≥0在R上恒成立，即ax2－x＋c≥0恒成立，∴ax2－x＋－a≥0恒成立，显然当a＝0时，上式不恒成立．∴a≠0，∴即解得a＝，c＝.(2)由(1)知f′(x)＝x2－x＋.由f′(x)＋h(x)<0，得x2－x＋＋x2－bx＋－<0，即x2－x＋<0，即(x－b)<0，当b>时，解集为，当b<时，解集为，当b＝时，解集为∅.11．已知函数f(x)＝x2＋bx＋c(b，c∈R)，对任意的x∈R，恒有f′(x)≤f(x)．(1)证明：当x≥0时，f(x)≤(x＋c)2；(2)若对满足题设条件的任意b，c，不等式f(c)－f(b)≤M(c2－b2)恒成立，求M的最小值．(1)证明易知f′(x)＝2x＋b.由题设，对任意的x∈R，2x＋b≤x2＋bx＋c，即x2＋(b－2)x＋c－b≥0恒成立，所以(b－2)2－4(c－b)≤0，从而c≥＋1.于是c≥1，且c≥2＝|b|，因此2c－b＝c＋(c－b)＞0.故当x≥0时，有(x＋c)2－f(x)＝(2c－b)x＋c(c－1)≥0.即当x≥0时，f(x)≤(x＋c)2.(2)解由(1)知c≥|b|.当c＞|b|时，有M≥＝＝.令t＝，则－1＜t＜1，＝2－.而函数g(t)＝2－(－1＜t＜1)的值域是.因此，当c＞|b|时，M的取值集合为.当c＝|b|时，由(1)知b＝±2，c＝2.此时f(c)－f(b)＝－8或0，c2－b2＝0，从而f(c)－f(b)≤(c2－b2)恒成立．综上所述，M的最小值为.
