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常考问题4导数的简单应用(建议用时：50分钟)1．函数f(x)＝x2－lnx的单调递减区间为________．解析由题意知，函数的定义域为(0∞，＋)，又由f′(x)＝x≤－0，解得00.答案∪4．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋2(a>0)的极大值点和极小值点都在区间(－1,1)内，则实数a的取值范围是______．解析由题意可知f′(x)＝0的两个不同解都在区间(－1，1)内．因为f′(x)＝3x2＋2ax＋1，所以根据导函数图象可得又a>0，解得0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值为________．解析依题意知f′(x)＝12x2－2ax－2b，∴f′(1)＝0，即12－2a－2b＝0，∴a＋b＝6.又a>0，b>0，∴ab≤2＝9，当且仅当a＝b＝3时取等号，∴ab的最大值为9.答案99．已知f(x)＝ex－ax－1.(1)求f(x)的单调增区间；(2)若f(x)在定义域R内单调递增，求a的取值范围．解(1)∵f(x)＝ex－ax－1(x∈R)，∴f′(x)＝ex－a.令f′(x)≥0，得ex≥a.当a≤0时，f′(x)>0在R上恒成立；当a>0时，有x≥lna．综上，当a≤0时，f(x)的单调增区间为(∞∞－，＋)；当a>0时，f(x)的单调增区间为(lna∞，＋)．(2)由(1)知f′(x)＝ex－a.∵f(x)在R上单调递增，∴f′(x)＝ex－a≥0恒成立，即a≤ex在R上恒成立．∵x∈R时，ex>0，∴a≤0，即a的取值范围是(∞－，0]．10．(·西安五校二次联考)已知函数f(x)＝ax2－(2a＋1)x＋2lnx，a∈R.(1)若曲线y＝f(x)在x＝1和x＝3处的切线互相平行，求a的值；(2)求f(x)的单调区间．解f′(x)＝ax－(2a＋1)＋(x>0)．(1)由题意得f′(1)＝f′(3)，解得a＝.(2)f′(x)＝(x>0)．①当a≤0时，x>0，ax－1<0.在区间(0,2)上，f′(x)>0；在区间(2∞，＋)上，f′(x)<0，故f(x)的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(2∞，＋)．②当02.在区间(0,2)和上，f′(x)>0；在区间上，f′(x)<0.故f(x)的单调递增区间是(0,2)和，单调递减区间是.③当a＝时，f′(x)≥＝0，故f(x)的单调递增区间是(0∞，＋)．④当a>时，0<<2，在区间和(2∞，＋)上，f′(x)>0；在区间上，f′(x)<0.故f(x)的单调递增区间是和(2∞，＋)，单调递减区间是.11．(·重庆卷)设f(x)＝a(x－5)2＋6lnx，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6)．(1)确定a的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值．解(1)因f(x)＝a(x－5)2＋6lnx，故f′(x)＝2a(x－5)＋.令x＝1，得f(1)＝16a，f′(1)＝6－8a，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－16a＝(6－8a)(x－1)，由点(0,6)在切线上可得6－16a＝8a－6，故a＝.(2)由(1)知，f(x)＝(x－5)2＋6lnx(x>0)，f′(x)＝x－5＋＝.令f′(x)＝0，解得x＝2或3.当03时，f′(x)>0，故f(x)在(0,2)，(3∞，＋)上为增函数；当2

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