错位相减法的运用错位相减法是一种常用的数列求和方法，形如nnba的数列，其中{na}为等差数列，nb为等比数列；分别列出，再把所有式子同时乘以等比数列的公比，即；然后错一位，两式相减即可。适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和。典型例题：例1.（年四川省文12分）已知数列的前项和为，常数，且对一切正整数都成立。（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，，当为何值时，数列的前项和最大？【答案】解：（Ⅰ）取n=1，得，∴。若=0，则=0,当n时，。若，则，有当n时，，，两个相减得：，∴。∴数列公比是2的等比数列。综上所述，若=0,则；若，则。（Ⅱ）当且时，令，则。∴是单调递减的等差数列（公差为－lg2）则b1>b2>b3>…>b6=；当n≥7时，bn≤b7=。∴数列{lg}的前6项的和最大，即当=6时，数列的前项和最大。【考点】等差数列、等比数列、对数等基础知识，分类与整合、化归与转化等数学思想的应用。【解析】（I）由题意，n=1时，由已知可知，分类讨论：由=0及，结合数列的和与项的递推公式可求。（II）由且时，令，则，结合数列的单调性可求和的最大项。例2.（年天津市理13分）已知{}是等差数列，其前项和为，{}是等比数列,且=，，.(Ⅰ)求数列{}与{}的通项公式；(Ⅱ)记，，证明.【答案】解：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由=，得。由条件，得方程组，解得。∴。(Ⅱ)证明：由（1）得，①；[∴②；由②－①得，∴。【考点】等差数列与等比数列的综合；等差数列和等比数列的通项公式。【分析】（Ⅰ）直接设出首项和公差，根据条件求出首项和公差，即可求出通项。（Ⅱ）写出的表达式，借助于错位相减求和。还可用数学归纳法证明其成立。例3.（2012年天津市文13分）已知{}是等差数列，其前项和为，{}是等比数列,且=，，.(Ⅰ)求数列{}与{}的通项公式；(Ⅱ)记，，证明。【答案】解：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由=，得。由条件，得方程组，解得。∴。(Ⅱ)证明：由（1）得，①；∴②；由②－①得，∴。【考点】等差数列与等比数列的综合；等差数列和等比数列的通项公式。【分析】（Ⅰ）直接设出首项和公差，根据条件求出首项和公差，即可求出通项。（Ⅱ）写出的表达式，借助于错位相减求和。还可用数学归纳法证明其成立。例4.（年广东省理14分）设数列的前n项和为Sn，满足且成等差数列。（1）求a1的值；（2）求数列的通项公式。（3）证明：对一切正整数n，有.【答案】解：（1） 且成等差数列∴，解得。即。（2） ………………………………………………①∴……………………………………………………②①－②，得。 ，∴。∴，。∴数列{}成首项为，公比为的等比数列，∴。∴。。（3） （当n=1时，取等号。）∴，∴（当且仅当n=1时，取等号）。∴。【考点】数列与不等式的综合，等差数列和等比数列的应用，数列递推式。【解析】（1）在中，令分别令n=1，2，由成等差数列，得到关于的三元方程，解之即可可求得。（2）由，，两式相减即可得，可知，数列{}成首项为，公比为的等比数列，从而可求数列的通项公式。（3）构造，证得其大于等于0，从而，即（当且仅当n=1时，取等号）。因此。例5.（年广东省文14分）设数列的前项和，数列的前项和为，满足．（1）求的值；（2）求数列的通项公式．【答案】解：（1）当时，。 ，∴，解得。（2） ①，当时，②，∴①②得：③，此式对也成立。∴当时，④。∴③④得：，即。∴是以为首项，2为公比的等比数列。∴，即，。【考点】数列递推式，等比数列的性质。【解析】（1）当时，。由得解得。（2）两次递推后得到以为首项，2为公比的等比数列，由此能求出数列的通项公式。例6.（年江西省理12分）已知数列的前项和（其中），且的最大值为。（1）确定常数，并求；（2）求数列的前项和。【答案】解：（1）当n＝时，Sn＝－n2＋kn取最大值，即8＝Sk＝－k2＋k2＝k2，∴k2＝16，∴k＝4。∴＝－n(n≥2)。又 a1＝S1＝，∴an＝－n。（2） 设bn＝＝，Tn＝b1＋b2…＋＋bn＝1…＋＋＋＋＋，∴Tn＝2Tn－Tn＝2＋1…＋＋＋－＝4－－＝4－。【考点】数列的通项，递推、错位相减法求和，二次函数的性质。...
