高考数学 高频考点归类分析 点与圆锥曲线的关系问题（真题为例）VIP免费

点与圆锥曲线的关系问题典型例题：例1.（年浙江省理4分）定义：曲线上的点到直线的距离的最小值称为曲线到直线的距离．已知曲线：到直线：的距离等于曲线：到直线：的距离，则实数▲．【答案】。【考点】新定义，点到直线的距离。【解析】由C2：x2＋(y＋4)2＝2得圆心(0—，4)，则圆心到直线l：y＝x的距离为：。∴由定义，曲线C2到直线l：y＝x的距离为。又由曲线C1：y＝x2＋a，令，得：，则曲线C1：y＝x2＋a到直线l：y＝x的距离的点为(，)。∴。例2.（年上海市理14分）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海里A处，如图.现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发小时后，失事船所在位置的横坐标为7.（1）当时，写出失事船所在位置P的纵坐标.若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分）（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8分）【答案】解：（1）时，P的横坐标，代入抛物线方程得P的纵坐标。 A（0，12），∴。∴救援船速度的大小为海里/时。由tan∠OAP=，得，∴救援船速度的方向为北偏东弧度。（2）设救援船的时速为海里，经过小时追上失事船，此时位置为。由，整理得。 当即=1时最小，即。∴救援船的时速至少是25海里才能追上失事船。【考点】曲线与坐标。【解析】（1）求出A点和P点坐标即可求出。（2）求出时速关于时间的函数关系式求出极值。例3.（年福建省理13分）如图，椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e＝，过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8.（Ⅰ）求椭圆E的方程；（II）设动直线l：y＝kx＋m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x＝4相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．【答案】解：（Ⅰ） |AB|＋|AF2|＋|BF2|＝8，∴|AF1|＋|F1B|＋|AF2|＋|BF2|＝8。又 |AF1|＋|AF2|＝|BF1|＋|BF2|＝2a，∴4a＝8，a＝2。又 e＝，即＝，∴以c＝1。∴b＝＝。∴椭圆E的方程是＋＝1。（II）由得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0。 动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0，y0)，∴m≠0且Δ＝0，∴64k2m2－4(4k2＋3)(4m2－12)＝0，化简得4k2－m2＋3＝0①，此时x0＝－＝－，y0＝kx0＋m＝。∴P。由得Q(4,4k＋m)。假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M必在x轴上。设M(x1,0)，则MP·MQ＝0对满足①式的m、k恒成立。 MP＝，MQ＝(4－x1,4k＋m)，∴由MP·MQ＝0，得－＋－4x1＋x＋＋3＝0，整理，得(4x1－4)＋x－4x1＋3＝0②。 ②式对满足①式的m，k恒成立，∴，解得x1＝1。∴存在定点M(1,0)，使得以PQ为直径的圆恒过点M。【考点】椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题。【解析】（Ⅰ）根据过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8，可得4a=8，即a=2，利用e＝，b＝，即可求得椭圆E的方程。（Ⅱ）由消元可得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，由动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0，y0)，可得m≠0，△=0，进而可得4k2－m2＋3＝0①，P。由得Q(4,4k＋m)。假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M必在x轴上。设M(x1,0)，则MP·MQ＝0对满足①式的m、k恒成立。由MP＝，MQ＝(4－x1,4k＋m)和MP·MQ＝0得(4x1－4)＋x－4x1＋3＝0②。由②式对满足①式的m，k恒成立，得，解得x1＝1。故存在定点M(1,0)，使得以PQ为直径的圆恒过点M。例4.（年福建省文12分）如图所示，等边三角形OAB的边长为8，且其三个顶点均在抛物线E：x2＝2py(p＞0)上．（I）求抛物线E的方程；（II）设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y＝－1相交于点Q，证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点．【答案】解：（I）依题意，|OB|＝8，∠BOy＝30°。设B(x，y)，则x＝|OB|sin30°＝4，y＝|OB|cos30°＝12。因为点B(4，12)在x2＝2py上，所以(4)2＝2p×12，解得p＝2。故抛物线E的方程为x2＝4y。（II）由（I）知y＝x2，y′＝x。设P(x0，y0)，则x0≠0，且l的方程为y－y0＝x0(x－x0)，即y...