定积分的计算和应用典型例题：例1.（年湖北省理5分）已知二次函数的图像如图所示，则它与轴所围图形的面积为【】A.B.C.D.【答案】B。【考点】待定系数法求函数解析式，定积分在求面积中的应用。【解析】先根据函数的图象用待定系数法求出函数的解析式，然后利用定积分表示所求面积，最后根据定积分运算法则求出所求：根据函数的图象可知二次函数图象过点（－1，0），（1，0），（0，1），用待定系数法可求得二次函数解析式为。设二次函数的图像与轴所围图形的面积为，则。故选B。例2.（年上海市文4分）已知函数的图像是折线段，其中、、，函数（）的图像与轴围成的图形的面积为▲【答案】。【考点】函数的图象与性质，函数的解析式的求解方法。【解析】根据题意得到，，∴得到。)(xxfy（）的图象如图。易知，)(xxfy（）的分段解析式中的两部分抛物线形状完全相同，只是开口方向及顶点位置不同，，封闭图形与全等，面积相等，故所求面积即为矩形的面积。若用定积分求解，则。例3.（年山东省理4分）设a＞0.若曲线与直线x＝a，y=0所围成封闭图形的面积为a，则a=▲。【答案】。【考点】定积分的应用。【解析】，解得。例4.（年江西省理5分）计算定积分▲。【答案】。【考点】定积分。【解析】。例5.（年福建省理5分）如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为【】A.B.C.D.【答案】C。【考点】定积分的计算，几何概型的计算。【解析】∵，∴利用几何概型公式得：。故选C。例6.（年湖南省理5分）函数的导函数的部分图像如图所示，其中，P为图像与y轴的交点，A,C为图像与轴的两个交点，B为图像的最低点.（1）若，点P的坐标为，则▲;（2）若在曲线段与轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC内的概率为▲.【答案】（1）3；（2）。【考点】三角函数的图像与性质，定积分，几何概率。【解析】（1），当，点P的坐标为时，，∴。（2）由图知，。∵，∴曲线段与轴所围成的区域面积为。由几何概率知该点在△ABC内的概率为。
