动点轨迹方程典型例题:例1.(年全国大纲卷理5分)椭圆的中心在原点,焦距为4,一条准线为,则该椭圆的方程为【】A.B.C.D.【答案】C。【考点】椭圆的方程以及性质的运用。【解析】通过准线方程确定焦点位置,然后借助于焦距和准线求解参数,从而得到椭圆的方程: ,∴。 该椭圆的一条准线方程为,∴该椭圆的焦点在轴上且,∴。∴。故选C。例2.(年山东省理5分)已知椭圆C:的离心率为,双曲线的渐近线与椭圆有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆c的方程为【】ABCD【答案】D。【考点】椭圆和双曲线性质的应用。【解析】 双曲线的渐近线方程为,代入可得。又 根据椭圆对称性质,知所构成的四边形是正方形,∴,即①。又由椭圆的离心率为可得②。联立①②,解得。∴椭圆方程为。故选D。例3.(年山东省文5分)已知双曲线:的离心率为2.若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为2,则抛物线的方程为【】ABCD【答案】D。【考点】双曲线和抛物线的性质。【解析】 抛物线的焦点坐标为,双曲线:的渐近线为,不妨取,即。∴抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为,即。∴。又 双曲线的离心率为,∴,即。∴抛物线的方程为。故选D。例4.(年湖南省理5分)已知双曲线C:的焦距为10,点P(2,1)在C的渐近线上,则C的方程为【】A.B.C.D.#ww.zz&st^ep.com@]【答案】A。【考点】双曲线的方程、双曲线的渐近线方程。【解析】设双曲线C:的半焦距为,则。 C的渐近线为,点P(2,1)在C的渐近线上,∴,即。又 ,∴,∴C的方程为。故选A。例5.(年陕西省理5分)下图是抛物线形拱桥,当水面在时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降1米后,水面宽▲米.【答案】。【考点】抛物线的应用。【解析】建立如图所示的直角坐标系,设抛物线方程为,∴ 当水面在时,拱顶离水面2米,水面宽4米,∴抛物线过点(2,-2,).代入得,,即。∴抛物线方程为。∴当时,,∴水位下降1米后,水面宽米。例6.(年四川省文12分)如图,动点与两定点、构成,且直线的斜率之积为4,设动点的轨迹为。(Ⅰ)求轨迹的方程;(Ⅱ)设直线与轴交于点,与轨迹相交于点,且,求的取值范围。yxBAOM【答案】解:(Ⅰ)设M的坐标为(x,y), 当x=-1时,直线MA的斜率不存在;当x=1时,直线MB的斜率不存在;∴,MA的斜率为,MB的斜率为。由题意,有·=4,化简可得,。∴轨迹的方程为()。(Ⅱ)由消去y,可得(﹡)对于方程(﹡),其判别式,而当1或-1为方程(*)的根时,m的值为-1或1,结合题设可知,,且m≠1。设的坐标分别为,,则为方程(*)的两根。 ,∴。∴。∴。此时,且。∴且。∴且。综上所述,的取值范围为。【考点】直线、双曲线、轨迹方程的求法。【解析】(Ⅰ)设M的坐标为(x,y),由当x=-1时,直线MA的斜率不存在;当x=1时,直线MB的斜率不存在,得到,由直线的斜率之积为4列式即可得到轨迹的方程。(Ⅱ)直线与联立,消元可得(﹡),利用(﹡)有两根且,且m≠1。设Q,R的坐标,求出xR,xQ,利用,即可确定的取值范围。例7.(年广东省文14分)在平面直角坐标系中,已知椭圆的左焦点为,且点在上.(1)求椭圆的方程;(2)设直线与椭圆和抛物线相切,求直线的方程.【答案】解:(1) 椭圆的左焦点为,∴。将点代入椭圆,得,即。∴。∴椭圆的方程为。(2)直线的斜率显然存在,设直线的方程为,联立,消去并整理得。 直线与椭圆相切,∴,整理得①联立,消去并整理得。 直线与抛物线相切,∴,整理得②联立①②,解得或∴直线的方程为或。【考点】椭圆的性质,曲线上点的坐标与方程的关系,直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系,一元二次方程根的判别式的应用,待定系数法。【解析】(1)由椭圆的左焦点为可得;由点在上,根据曲线上点的坐标满足方程的关系,将代入椭圆的方程可得。从而可求得。得到椭圆的方程。(2)应用待定系数法,设直线的方程为。将直线的方程与与椭圆和抛物线的方程分别联立,消去,分别得到关于的一元二次方程,根据直线与椭圆和抛物线相切,可由得关于和的方程组,解之即可求得直线的方程。例8.(年江西省文13分)已知三点O(0,0),A(-2,1),B(2...