高考数学 高频考点归类分析 关于线线、线面及面面垂直的问题（真题为例）VIP免费

关于线线、线面及面面垂直的问题典型例题：例1.（年浙江省理5分）已知矩形，，．将沿矩形的对角线所在的直线进行翻折，在翻折过程中，【】A．存在某个位置，使得直线与直线垂直B．存在某个位置，使得直线与直线垂直C．存在某个位置，使得直线与直线垂直D“．对任意位置，三对直线与”“，与”“，与”均不垂直【答案】B。【考点】空间中直线与直线之间的位置关系。【解析】如图，⊥，⊥，依题意，，，==，。A，若存在某个位置，使得直线与直线垂直，则 ⊥，∴⊥平面，从而⊥，这与已知矛盾，排除A；B，若存在某个位置，使得直线与直线垂直，则⊥平面，平面⊥平面。取中点，连接，则⊥，∴∠就是二面角的平面角，此角显然存在，即当在底面上的射影位于的中点时，直线与直线垂直，故B正确；C，若存在某个位置，使得直线与直线垂直，则⊥平面，从而平面⊥平面，即在底面上的射影应位于线段上，这是不可能的，排除C；D，由上所述，可排除D。故选B。例2.（年全国课标卷文12分）如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点(Ｉ)证明：平面BDC1⊥平面BDC（Ⅱ）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比。【答案】解：(Ｉ)证明： 由题设，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，∴BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1AC=C，∴BC⊥平面ACC1A1。又 DC1平面ACC1A1，∴DC1⊥BC。 由题设，AC=BC，=AA1，D是棱AA1的中点，∴∠A1DC1=∠ADC=450，∴∠CDC=900，即DC1⊥DC。又 DCBC=C，∴DC1⊥平面BDC。又 DC1平面BDC1，∴平面BDC1⊥平面BDC。（Ⅱ）设棱锥B－DACC1的体积为V1，，则。又 三棱柱ABC－A1B1C1的体积，∴。∴平面BDC1分此棱柱为两部分体积的比为1：1。【考点】直三棱柱的性质，平面和平面的位置关系，棱柱和棱锥的体积。【解析】(Ｉ)要证明平面BDC1⊥平面BDC，只要证一个平面的一条直线垂直于另一个平面即可。由由题设可证得DC1⊥BC，DC1⊥DC，由DCBC=C得DC1⊥平面BDC，而DC1平面BDC1，因此平面BDC1⊥平面BDC。（Ⅱ）求出三棱柱ABC－A1B1C1的体积和棱锥B－DACC1的体积即可求得结果。例3.（年北京市理14分）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图2.（1）求证：A1C⊥平面BCDE；（2）若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；（3）线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由【答案】解：（1） CD⊥DE，A1E⊥DE，，∴DE⊥平面A1CD。又 A1C平面A1CD，∴A1C⊥DE。又 A1C⊥CD，∴A1C⊥平面BCDE。（2）如图建立空间直角坐标系，则B（0，3，0），C（0，0，0），D（－2，0，0），E（－2。2。0），A1（0，0，）。∴。设平面A1BE法向量为，则，即，∴。∴又 M是A1D的中点，∴M（－1，0，）。∴。设CM与平面A1BE法向量所成角为，则∴。∴CM与平面A1BE所成角为。（3）设线段BC上点P，设P点坐标为，则。则设平面A1DP法向量为则∴。∴。假设平面A1DP与平面A1BE垂直，则，即，解得。与不符。∴线段BC上不存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直。【考点】线面垂直的判定，线面角的计算，两平面垂直的条件。【解析】（1）根据线面垂直的判定进行判定。（2）建立空间直角坐标系可易解决。（3）用反证法，假设平面A1DP与平面A1BE垂直，得出与已知相矛盾的结论即可。例4.（年北京市文14分）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2。（1）求证：DE∥平面A1CB；（2）求证：A1F⊥BE；（3）线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由。【答案】解：（1）证明： 在图1Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为AC，AB的中点，∴DE∥BC。 在图2中，DE平面A1CB，∴DE∥平面A1CB。（2）证明： DE⊥A1D，DE⊥CD，A1D∩CD=D，∴DE⊥平面A1CD。 A1F平面A1CB，∴DE⊥A1F。又 A1F⊥CD，CD∩DE=D，CD平面BEDC，DE平面BEDC，∴A1F⊥平面BEDC。又 BE平面BEDC，∴A1F⊥BE，（3）线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ，点Q为A1B的中点。理由如下：取A1C中点P，连接DP，QP...