函数的零点问题典型例题：例1.（年全国大纲卷理5分）已知函数的图像与轴恰有两个公共点，则【】A．2或2B．9或3C．1或1D．3或1【答案】A【考点】导数的应用。【解析】若函数图像与轴有两个不同的交点，则需要满足其中一个为零即可。因为三次函数的图像与轴恰有两个公共点，结合该函数的图像，可知只有在极大值点或者极小值点有一点在轴时满足要求（如图所示）。∵，∴。∴当时，函数取得极值。由或可得或，即。故选A。例2.（年北京市文5分）函数的零点个数为【】A.0B.1C.2D.3【答案】B。【考点】幂函数和指数函数的图象。【解析】函数的零点个数就是（即）解的个数，即函数和的交点个数。如图，作出图象，即可得到二者交点是1个。所以函数的零点个数为1。故选B。例3.（年天津市理5分）函数在区间内的零点个数是【】（A）0（Ｂ）1（Ｃ）2（Ｄ）3【答案】B。【考点】函数的零点的概念，函数的单调性，导数的应用。【分析】∵，∴函数在定义域内单调递增。又∵，。∴函数在区间（0，1）内有唯一的零点。故选B。例4.（年辽宁省理5分）设函数f(x)满足f()=f(x)，f(x)=f(2x)，且当时，f(x)=x3.又函数g(x)=|xcos|，则函数h(x)=g(x)-f(x)在上的零点个数为【】(A)5(B)6(C)7(D)8【答案】B。]【考点】函数的奇偶性、对称性、函数的零点。【解析】因为当时，f(x)=x3.所以当，f(x)=f(2x)=(2x)3，当时，g(x)=xcos；当时，g(x)=xcos，注意到函数f(x)、g(x)都是偶函数，且f(0)=g(0)，f(1)=g(1)，，作出函数f(x)、g(x)的大致图象，函数h(x)除了0、1这两个零点之外，分别在区间上各有一个零点，共有6个零点，故选B。例7.（年福建省文14分）已知函数f(x)＝axsinx－(a∈R)，且在上的最大值为.（I）求函数f(x)的解析式；（II）判断函数f(x)在(0，π)内的零点个数，并加以证明．【答案】解：（I）由已知f′(x)＝a(sinx＋xcosx)，对于任意x∈，有sinx＋xcosx＞0。当a＝0时，f(x)＝－，不合题意；当a＜0，x∈时，f′(x)＜0，从而f(x)在内单调递减，又f(x)在上的图象是连续不断的，故f(x)在上的最大值为f(0)＝－，不合题意；当a＞0，x∈时，f′(x)＞0，从而f(x)在内单调递增，又f(x)在上的图象是连续不断的，故f(x)在上的最大值为f，即a－＝，解得a＝1。综上所述，函数f(x)的解析式为f(x)＝xsinx－。（II）f(x)在(0，π)内有且只有两个零点。证明如下：由（I）知，f(x)＝xsinx－，从而有f(0)＝－＜0，f＝＞0。又f(x)在上的图象是连续不断的，所以f(x)在内至少存在一个零点。又由（I）知f(x)在上单调递增，故f(x)在内有且仅有一个零点。当x∈时，令g(x)＝f′(x)＝sinx＋xcosx.由g＝1＞0，g(π)＝－π＜0，且g(x)在上的图象是连续不断的，故存在m∈，使得g(m)＝0。由g′(x)＝2cosx－xsinx，知x∈时，有g′(x)＜0，从而g(x)在内单调递减。当x∈时，g(x)＞g(m)＝0，即f′(x)＞0，从而f(x)在内单调递增，故当x∈时，f(x)≥f＝＞0，故f(x)在上无零点；当x∈(m，π)时，有g(x)＜g(m)＝0，即f′(x)＜0，从而f(x)在(m，π)内单调递减．又f(m)＞0，f(π)＜0，且f(x)在[m，π]上的图象是连续不断的，从而f(x)在(m，π)内有且仅有一个零点。综上所述，f(x)在(0，π)内有且只有两个零点。【考点】利用导数求闭区间上函数的最值，函数的零点，利用导数研究函数的极值。【解析】（I）由题意，可借助导数研究函数f(x)＝axsinx－(a∈R)，在上的单调性，确定出最值，令最值等于，即可得到关于a的方程，由于a的符号对函数的最值有影响，故可以对a的取值范围进行讨论，分类求解。（II）借助导数研究函数f(x)在（0，π）内单调性，由零点判定定理即可得出零点的个数。
