函数的综合问题典型例题：例1.（年全国大纲卷理12分）设函数()cos,[0,]fxaxxx。（1）讨论()fx的单调性；（2）设()1sinfxx，求a的取值范围。【答案】解：()sinfxax。（1） [0,]x，∴0sin1x。当1a时，()0fx，()fx在[0,]x上为单调递增函数；当0a时，()0fx，()fx在[0,]x上为单调递减函数；当01a时，由()0fx得sinxa，由()0fx得0arcsinxa或arcsinax；由()0fx得arcsinarcsinaxa。∴当01a时在[0,arcsin]a和[arcsin,]a上为为单调递增函数；在[arcsin,arcsin]aa上为单调递减函数。（2）由()1sinfxx恒成立可得2()111faa。令2()sin(0)2gxxxx，则2()cosgxx。当2(0,arcsin)x时，()0gx，当2(arcsin,)2x时，()0gx。又(0)()02gg，所以()0gx，即2sin(0)2xxx故当2a时，有2()cosfxxx，①当02x时，2sinxx，cos1x，所以()1sinfxx。②当2x时，22()cos1()sin()1sin22fxxxxxx。综上可知故所求a的取值范围为2a。【考点】导数在研究函数中的运用，三角函数的有界性，。【解析】（1）利用三角函数的有界性，求解单调区间。（2）运用构造函数的思想，证明不等式。关键是找到合适的函数，运用导数证明最值大于或者小于零的问题得到解决。例2.（年全国大纲卷文12分）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）设有两个极值点，，若过两点，的直线与轴的交点在曲线上，求的值．【答案】解：（1） ，∴①当时，，且仅当时。∴是增函数。②当时，有两个根。列表如下：的增减性＞0增函数＜减函数＞0增函数（2）由题设知，，是的两个根，∴，且。∴。同理，。∴直线的解析式为。设直线与轴的交点为，则，解得。代入得， 在轴上，∴，解得，或或。【考点】函数的单调性和极值，导数的应用。【解析】（1）求出导函数，分区间讨论即可。（2）由，是的两个根和（1）的结论，得，求出关于的表达式和关于的表达式，从而得到直线的解析式。求出交点的横坐标代入，由其等于0，求出的值。例3.（年全国课标卷理12分）已知函数满足满足；（1）求的解析式及单调区间；（2）若，求的最大值。【答案】解：（1） ，∴。令得，。∴。∴，得。∴的解析式为。设，则。∴在上单调递增。又 时，，单调递增；时，，单调递减。∴的单调区间为：单调递增区间为，单调递减区间为。（2） ，∴。令得。①当时，，∴在上单调递增。但时，与矛盾。②当时，由得；由得。∴当时，∴。令；则。由得；由得。∴当时，∴当时，的最大值为。【考点】函数和导函数的性质。【解析】（1）由求出和即可得到的解析式，根据导数的性质求出单调区间。（2）由和，表示出，根据导函数的性质求解。例4.（年全国课标卷文5分）设函数(Ⅰ)求的单调区间(Ⅱ)若a=1，k为整数，且当x>0时，，求k的最大值【答案】解：(Ｉ)f(x)的的定义域为，。若，则，∴在上单调递增。[若，则当时，；当时，，∴在上单调递减，在上单调递增。(Ⅱ) a=1，∴。∴当x>0时，，它等价于。令，则。由(Ｉ)知，函数在上单调递增。 ，，∴在上存在唯一的零点。∴在上存在唯一的零点，设此零点为，则。当时，；当时，。∴在上的最小值为。又 ，即，∴。因此，即整数k的最大值为2。【考点】函数的单调性质，导数的应用。【解析】(Ｉ)分和讨论的单调区间即可。(Ⅱ)由于当x>0时，等价于，令，求出导数，根据函数的零点情况求出整数k的最大值。例5.（年北京市理13分）已知函数（1）若曲线与曲线在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a、b的值；（2）当时，求函数∞的单调区间，并求其在区间（－，－1）上的最大值。【答案】解：（1） （1，c）为公共切点，∴。∴，即①。又 ，∴。又 曲线与曲线在它们的交点（1，c）处具有公共切线，∴②。解①②，得。（2） ，∴设。则。令，解得。 ，∴。又 在各区间的情况如下：＋0－0＋∴在单调递增，在单调递减，在上单调递增。①若，即时，最大值为；②若，即时，最大值为。③若时，即时，最大值为...
