集合思想的运用典型例题：例1.（年江苏省10分）设集合，．记为同时满足下列条件的集合的个数：①；②若，则；③若，则。（1）求；（2）求的解析式（用表示）．【答案】解：（1）当时，符合条件的集合为：，∴=4。(2）任取偶数，将除以2，若商仍为偶数．再除以2，···经过次以后．商必为奇数．此时记商为。于是，其中为奇数。由条件知．若则为偶数；若，则为奇数。于是是否属于，由是否属于确定。设是中所有奇数的集合．因此等于的子集个数。当为偶数〔或奇数）时，中奇数的个数是（）。∴。【考点】集合的概念和运算，计数原理。【解析】（1）找出时，符合条件的集合个数即可。（2）由题设，根据计数原理进行求解。例2.（年上海市理18分）对于数集，其中，，定义向量集.若对于任意，存在，使得，则称X具有性质P.例如具有性质P.（1）若＞2，且，求的值；（4分（2）若X具有性质P，求证：1X，且当n＞1时，1=1；（6分）（3）若X具有性质P，且1=1，（为常数），求有穷数列的通项公式.（8分）【答案】解：（1）选取，则Y中与垂直的元素必有形式。∴，从而=4。（2）证明：取，设满足。由得，∴、异号。 －1是X中唯一的负数，所以、中之一为－1，另一为1。故1X。假设，其中，则。选取，并设满足，即。则、异号，从而、之中恰有一个为－1。若=－1，则，矛盾；若=－1，则，矛盾.∴=1。（3）猜测，i=1,2,…,。记，=2,3,…,。先证明：若具有性质P，则也具有性质P。任取，、.当、中出现－1时，显然有满足。当且时，、≥1。 具有性质P，∴有，、，使得。从而和中有一个是－1，不妨设=－1，假设且，则。由，得，与矛盾。∴，从而也具有性质P。现用数学归纳法证明：，i=1,2,…,。当=2时，结论显然成立。假设时，有性质P，则，i=1,2,…,；则当时，若有性质P，则也有性质P，所以。取，并设满足，即。由此可得与中有且只有一个为－1。若，则，所以，这不可能；∴，，又，所以。综上所述，，i=1,2,…,。【考点】数集、集合的基本性质、元素与集合的关系，数学归纳法和反证法的应用。【解析】（1）根据题设直接求解。（2）用反证法给予证明。（3）根据题设，先用反证法证明：若具有性质P，则也具有性质P，再用数学归纳法证明猜测，i=1,2,…,。例3.（年北京市理13分）设A是由m×n个实数组成的m行n列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零，记s(m，n)为所有这样的数表构成的集合。对于A∈S(m，n)，记Ri(A)为A的第ⅰ行各数之和（1≤ⅰ≤m），Cj(A)为A的第j列各数之和（1≤j≤n）；记K(A)为∣R1(A)∣,∣R2(A)∣,…,∣Rm(A)∣,∣C1(A)∣,∣C2(A)∣,…,∣Cn(A)∣中的最小值。（1）对如下数表A，求的值；11－0.80.1－0.3－1（2）设数表A∈S（2,3）形如11cab－1求的最大值；（3）给定正整数t，对于所有的A∈S（2，2t+1），求的最大值。【答案】解：（1）由题意可知，∴。（2）先用反证法证明：若，则，∴（无解）。同理可知。∴。由题设所有数和为0，即，∴，解得，与题设矛盾。∴。易知当时，存在。∴的最大值为1。（3）的最大值为。首先构造满足的：，。经计算知，中每个元素的绝对值都小于1，所有元素之和为0，且，，。下面证明是最大值。若不然，则存在一个数表A∈S（2，2t+1），使得。由的定义知的每一列两个数之和的绝对值都不小于，而两个绝对值不超过1的数的和，其绝对值不超过2，故的每一列两个数之和的绝对值都在区间中.由于，故的每一列两个数符号均与列和的符号相同，且绝对值均不小于。设中有列的列和为正，有列的列和为负，由对称性不妨设，则。另外，由对称性不妨设的第一行行和为正，第二行行和为负。考虑的第一行，由前面结论知的第一行有不超过个正数和不少于个负数，每个正数的绝对值不超过1（即每个正数均不超过1），每个负数的绝对值不小于（即每个负数均不超过）。因此，故的第一行行和的绝对值小于，与假设矛盾。因此的最大值为。【考点】逻辑推理，反证法的应用。【解析】（1）根据ri（A）为A的第i行各数之和（i=1，2），cj（A）为A的第j列各数之和（j=1，2，3）；求出|r1（A）|，|r2（A）|，|c1（A）|，|c2（A）|，|c3（A）|中的最小值可即为所求...
