高考数学 高频考点归类分析 离散型随机变量概率列和数学期望计算（真题为例）VIP免费

离散型随机变量概率列和数学期望计算典型例题：例1.（年上海市理5分）设443211010xxxx，5510x，随机变量1取值54321xxxxx、、、、的概率均为2.0，随机变量2取值222221554433221xxxxxxxxxx、、、、的概率也均为2.0，若记21DD、分别为21、的方差，则【】A．21DDB．21DDC．21DDD．1D与2D的大小关系与4321xxxx、、、的取值有关【答案】A。【考点】离散型随机变量的期望和方差公式。【解析】由随机变量21,的取值情况，它们的平均数分别为：设，则。∴++++；记，…，，，同理得，。∴只要比较与有大小： ，∴。故选A。例2.（年全国大纲卷理12分）乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换，每次发球，胜方得1分，负方得0分。设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立，。甲、乙的一局比赛中，甲先发球。（1）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；（2）表示开始第4次发球时乙的得分，求的期望。【答案】解：记iA“为事件第i”次发球，甲胜，i=1,2,3，则123()0.6,()0.6,()0.4PAPAPA。（1“）事件开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2”为123123123AAAAAAAAA，由互斥事件有一个发生的概率加法公式得123123123()PAAAAAAAAA0.60.40.60.40.60.60.40.40.40.352。即开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率为0.352。（2）由题意。123(0)()0.60.60.40.144PPAAA；123123123(1)()PPAAAAAAAAA0.40.60.40.60.40.40.60.60.6=0.408；(2)0.352P；123(3)()0.40.40.60.096PPAAA。∴分布列为：01230.1440.1080.3520.096∴的期望0.40820.35230.0961.4E。【考点】独立事件的概率，分布列和期望值。【解析】首先要理解发球的具体情况，然后对于事件的情况分析、讨论，并结合独立事件的概率求解结论。例3.（年全国课标卷理12分）某花店每天以每枝元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理。（1）若花店一天购进枝玫瑰花，求当天的利润(单位：元)关于当天需求量（单位：枝，）的函数解析式。（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：日需求量14151617181920频数10201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。（i）若花店一天购进枝玫瑰花，表示当天的利润（单位：元），求的分布列，数学期望及方差；（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由。【答案】解：（1）当时，；当时，。∴。（2）（i）可取，，，。的分布列为：。。（ii）购进17枝时，当天的利润为 ，∴应购进17枝。【考点】列函数关系式，概率，离散型随机变量及其分布列。【解析】（1）根据题意，分和分别列式。（2）取，，，求得概率，得到的分布列，根据数学期望及方差公式求解；求出购进17枝时，当天的利润与购进16枝时，当天的利润比较即可。例4.（年四川省理12分）某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）和，系统和在任意时刻发生故障的概率分别为和。（Ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求的值；（Ⅱ）设系统在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量，求的概率分布列及数学期望。【答案】解：（Ⅰ）设“”至少有一个系统不发生故障为事件C，那么，解得。（Ⅱ）由题意，，，，∴随机变量的概率分布列为：0123∴故随机变量X的数学期望为：=0。【考点】相互独立事件，独立重复试验、互斥事件、二项分布，随机变量的分布列、数学期望。【解析】“”（Ⅰ）求出至少有一个系统不发生故障的对立事件的概率，利用至少有一个系统不发生故障的概率为，可求的值。（Ⅱ）的所有可能取值为0，1，2，3，求出相应的概率，可得的分布列与数学期望。例5.（年天津市理13分）现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个...