数列特征方程的应用所谓数列的特征方程，实际上就是为研究相应的数列而引入的一些等式，常用的有以下几种形式：1.形如的数列，一般是令，解出，则是公比为的等比数列。2.形如的数列，一般是令，解出，则①当时,，其中为待定系数，可根据初始值求出；②当时，，其中为待定系数，可根据初始值求出。3.形如的数列，一般是令，解出，则①当时，为等比数列；②当时，为等差数列。典型例题：例1.（年全国大纲卷理12分）函数2()23fxxx。定义数列nx如下：112,nxx是过两点(4,5),(,())nnnPQxfx的直线nPQ与x轴交点的横坐标。（1）证明：123nnxx；（2）求数列nx的通项公式。【答案】解：（1）∵2(4)4835f，∴点(4,5)P在函数()fx的图像上。∴由所给出的两点(4,5),(,())nnnPQxfx，可知，直线nPQ斜率一定存在。∴直线nPQ的直线方程为()55(4)4nnfxyxx。令0y，可求得，解得。∴1432nnnxxx。下面用数学归纳法证明23nx：当1n时，12x，满足123x，假设nk时，23kx成立，则当1nk时，1435422kkkkxxxx，由23kx得，，即，∴。∴123kx也成立。综上可知23nx对任意正整数恒成立。下面证明1nnxx：∵22143432(1)4222nnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxx，∴由23nx得，。∴。∴10nnxx即1nnxx。综上可知123nnxx恒成立。（2）由1432nnnxxx得到该数列的一个特征方程432xxx即2230xx，解得3x或1x。∴①，14355(1)122nnnnnxxxxx②。两式相除可得11331151nnnnxxxx。而1132311213xx∴数列31nnxx是以13为首项以15为公比的等比数列1311()135nnnxx。∴11195143351351nnnnx。【考点】数列的通项公式以及函数与数列相结全的综合运用，不等式的证明，数学归纳法。【解析】（1）先从函数入手，表示直线方程，从而得到交点坐标，再运用数学归纳法证明23nx，运用差值法证明1nnxx，从而得证。（2）根据递推公式构造等比数列进而求得数列的通项。
