数列与函数（方程）的综合应用数列与函数的结合，利用函数的性质体现数列的变化。典型例题：例1.（年四川省文5分）设函数，是公差不为0的等差数列，，则【】A、0B、7C、14D、21【答案】D。【考点】高次函数的性质，等差数列性质。【解析】∵是公差不为0的等差数列，记公差为。∴。则。∵，∴。设，则。∴。故选D。例2.（年安徽省理5分）公比为等比数列的各项都是正数，且，则【】【答案】。【考点】等比数列，分数指数幂，对数。【解析】∵是等比数列，且，∴。又∵等比数列的各项都是正数，∴。∴。∴。故选。例3.（年湖北省理5分）定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函数，如果对于任意给定的等比数列，仍是等比数列，则称“”为保等比数列函数。现有定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：①；②；③；④。“”则其中是保等比数列函数的的序号为【】A.①②B.③④C.①③D.②④【答案】C。【考点】等比数列的判定，新定义。【解析】逐一检验：令等比数列的公比为，①对，∵，∴是等比数列；②对，∵不一定是常数，∴不一定是等比数列；③对，∵，∴是等比数列；④对，举个特例，令是等差数列不是等比数列。“”从而是保等比数列函数的的序号为①③，故选C。例4.（年江西省文5分）观察下列事实的不同整数解的个数为4，的不同整数解的个数为8，的不同整数解的个数为12….则的不同整数解的个数为【】A.76B.80C.86D.92[【答案】B。【考点】归纳推理，等差数列的应用。【解析】观察可得不同整数解的个数4，8，12…，可以构成一个首项为4，公差为4的等差数列，通项公式为，则所求为第20项，所以。故选B。例5.（年上海市文4分）已知，各项均为正数的数列满足，，若，则的值是▲【答案】。【考点】数列的概念、组成和性质，函数的概念。【解析】根据题意，，并且，得到。当为奇数时，，，，，。当为偶数时，由，得到，解得（负值舍去）。由得，解得。∴当为偶数时，。∴。例6.（年四川省理12分）已知数列的前项和为，且对一切正整数都成立。（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）设，数列的前项和为，当为何值时，最大？并求出的最大值。【答案】解：（Ⅰ）取n=1，得①取n=2，得②由②－①，得③（1）若=0,由①知=0。（2）若，则,④由①④得：。（Ⅱ）当时，由（I）知，。当时，有⑤，⑥，⑤－⑥，即∴=。∴。令，则∴数列{}是以为公差，且单调递减的等差数列。∴b1>b2>b3>…>b7=；当n≥8时，bn≤b8=。∴n=7时，取得最大值，且的最大值为=。【考点】等差数列、等比数列、对数等基础知识，方程、分类与整合、化归与转化等数学思想的应用。【解析】（Ⅰ）取n=1和n=2可得关于，的方程，解之即得。（Ⅱ）作差求得，代入，根据对数的性质求解。
