数列与三角函数的综合应用数列与三角函数的结合是一类创新试题，利用三角函数的周期性体现数列的变化。典型例题：例1.（年四川省理5分）设函数，是公差为的等差数列，，则【】A、B、C、D、【答案】D。【考点】等差数列性质，三角函数性质。【解析】∵，，∴。∵是公差为的等差数列，∴，。∴，解得。∴。故选D。关于，可化为。由，设，作图可得二者交点在处：例2.（年安徽省文13分）设函数的所有正的极小值点从小到大排成的数列为.（Ⅰ）求数列；（Ⅱ）设的前项和为，求。【答案】解：（I）∵，∴。令，解得。当时，；当时，。∴当时，取极小值。∴数列：。（II）由（I）得：，∴。当时，；当时，；当时，。∴当时，；当时，；当时，。【考点】三角函数的极值，导数的应用，数列。【解析】（I）求函数的所有正的极小值点，即要讨论，和的情况，得出结果。（II）求出的前项和为，分类讨论，求出。例3.（年全国大纲卷文10分）中，内角、、成等差数列，其对边、、满足，求A．【答案】解：∵中，内角、、成等差数列，∴。∴，。又∵，∴根据正弦定理，得。∴。“由”进行均值换元，设，。则，化简，得。∴。∴或。【考点】解三角形的运用，等差数列的性质，三角形的内角和定理，正弦定理，两角和的三角函数。【解析】根据角、、成等差数列和三角形内角和定理可得，。运用均值换元法，由应用正弦定理和两角和的三角函数，化简等式，求出答案。例4.（年山东省文12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为，已知.(Ⅰ)求证：成等比数列；(Ⅱ)若，求△ABC的面积S.【答案】解：(Ⅰ)由已知得：，即。∵，∴。由正弦定理，得，∴成等比数列。(Ⅱ)若，则，由余弦定理，得，∴。∴△ABC的面积。【考点】正弦定理和余弦定理的应用，和的三角函数公式，同角三角函数公式，等比数列的判定。【解析】(Ⅰ)根据和的三角函数公式化简，求得三角正弦之间的关系，由正弦定理推出结论。[(Ⅱ)由余弦定理求出的余弦，从而根据同角三角函数公式得到正弦，应用面积公式求解。例5.（年辽宁省文12分）在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c。角A，B，C成等差数列。(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)边a，b，c成等比数列，求的值。【答案】解：（Ⅰ）∵角A，B，C成等差数列，∴。又∵，∴=60°。∴。（Ⅱ）∵边a，b，c成等比数列，∴。∴根据正弦定理得。∵=60°，∴。∴。【考点】数列与三角函数的综合，正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理及等差、等比数列的定义。【解析】（Ⅰ）在中，由角A、B、C成等差数列可知B=60°，从而可得的值。（Ⅱ）由a，b，c成等比数列，得，由的值得到的值，结合正弦定理可求得的值。另解：由余弦定理求得得到是等边三角形，每个内角等于600求解。例6.（2012年上海市理5分）设25sin1nnan，nnaaaS21，在10021,,,SSS中，正数的个数是【】A．25B．50C．75D．100【答案】D。【考点】正弦函数的周期性。【解析】∵对于（只有)，∴都为正数。当时，令，则，画出终边如右，其终边两两关于轴对称，即有，∴其中=26,27,…,49，此时。∵，，∴。从而当=26,27,…,49时，都是正数。又。同上可得，对于从51到100的情况同上可知都是正数，故选D。例7.（年福建省理4分）已知△ABC的三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为▲．【答案】。【考点】等比数列的性质，余弦定理的应用。【解析】∵△ABC的三边长成公比为的等比数列，∴设三角形的三边分别是：a、a、a。∵最大角所对的边是a，∴根据三角形中大边对大角的性质，结合余弦定理得：。∴最大角的余弦值为。
