同角、和差倍三角函数的应用典型例题：例1.（年全国大纲卷理5分）已知为第二象限角，，则【】A．B．C．D．【答案】A。【考点】两角和差的公式以及二倍角公式的运用。【解析】首先利用平方法得到二倍角的正弦值，然后然后利用二倍角的余弦公式，将所求的转化为单角的正弦值和余弦值的问题：∵，∴两边平方，得，即。∵为第二象限角，∴因此。∴。∴。故选A。例2.（年全国大纲卷文5分）已知为第二象限角，sin=，则sin2=【】A.B.C.D.【答案】A。【考点】同角三角函数和倍角三角函数的应用。【解析】∵为第二象限角，∴。又∵sin=，∴。∴。故选A。例3.（年山东省理5分）若，，则【】ABCD【答案】D。【考点】倍角三角函数公式的应用。【解析】由可得，∵，∴。∴，故选D。例4.（年江西省理5分）若，则【】A.B.C.D.【答案】D。【考点】三角恒等变形式以及转化与化归的数学思想。【解析】∵，∴。故选D。例5.（年江西省文5分）若，则=【】A.－B.C.－D.【答案】B。【考点】二倍角的正切，同角三角函数间的基本关系。【解析】将等式左边分子分母同时除以得，解得。∴。故选B。例6.（年辽宁省理5分）已知，(0，π)，则=【】(A)1(B)(C)(D)1【答案】A。【考点】三角函数中的和差公式、倍角公式、三角函数的性质。【解析】∵，∴。∴。又∵，∴。∴，即。∴。故选A。另析：，。例7.（年辽宁省文5分）已知，(0，π)，则=【】(A)1(B)(C)(D)1【答案】A。【考点】三角函数中的倍角公式。【解析】∵，∴。∴。故选A。例8.（年重庆市文5分）=【】（A）（B）（C）（D）【答案】C。【考点】两角和的正弦函数，特殊角的三角函数值。【分析】将原式分子第一项中的度数47°=17°+30°，然后利用两角和与差的正弦函数公式化简后，合并约分后，再利用特殊角的三角函数值即可求出值：。故选C。例9.（年江苏省5分）设为锐角，若，则的值为▲．【答案】。【考点】同角三角函数，倍角三角函数，和角三角函数。【解析】∵为锐角，即，∴。∵，∴。∴。∴。∴[。例10.（年广东省文12分）已知函数,且．（1）求的值；（2）设，，求的值．【答案】解：（1），解得。（2），即，即∵，∴，。∵。【考点】特殊角三角函数值，诱导公式，同角三角函数关系式，两角和的余弦公式。【解析】（1）将代入函数解析式，利用特殊角三角函数值即可解得A的值。（2）先将，代入函数解析式，利用诱导公式即可得、的值，再利用同角三角函数基本关系式，即可求得、的值，最后利用两角和的余弦公式计算所求值即可。例11.（年福建省理13分）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：(1)sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；(2)sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；(3)sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；(4)sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；(5)sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.（I）请从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；（II）根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．【答案】解：（I）选择(2)式，计算如下：sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－sin30°＝1－＝。（II）三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝。证明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝sin2α＋(cos30°cosα＋sin30°sinα)2－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα)＝sin2α＋cos2α＋sinαcosα＋sin2α－sinαcosα－sin2α＝sin2α＋cos2α＝。【考点】同角函数关系式、倍角公式和差的余弦公式的应用。【解析】（I）选择(2)式，应用同角函数关系式和倍角公式即可得出结果。（II）三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝。应用差的余弦公式和同角函数关系式即可证明。
