第7讲抛物线基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．(·合肥质量检测)抛物线x2＝y的焦点坐标为()A.B.C.D.解析抛物线x2＝y的焦点坐标是.答案D2．(·西宁复习检测)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线与曲线x2＋y2－4x－5＝0相切，则p的值为()A．2B．1C.D.解析曲线的标准方程为(x－2)2＋y2＝9，其表示圆心为(2，0)，半径为3的圆，又抛物线的准线方程为x＝－，∴由抛物线的准线与圆相切得2＋＝3，解得p＝2，故选A.答案A3．点M(5，3)到抛物线y＝ax2的准线的距离为6，那么抛物线的方程是()A．y＝12x2B．y＝12x2或y＝－36x2C．y＝－36x2D．y＝x2或y＝－x2解析分两类a>0，a<0可得y＝x2，y＝－x2.答案D4．(·潍坊一模)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F与双曲线－＝1的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且|AK|＝|AF|，则A点的横坐标为()A．2B．3C．2D．4解析抛物线的焦点为，准线为x＝－.双曲线的右焦点为(3，0)，所以＝3，即p＝6，即y2＝12x.过A做准线的垂线，垂足为M，则|AK|＝|AF|＝|AM|，即|KM|＝|AM|，设A(x，y)，则y＝x＋3，代入y2＝12x，解得x＝3.答案B5．(·新课标全国Ⅱ卷)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为()A.B.C.D.解析易知抛物线中p＝，焦点F，法一直线AB的斜率k＝，故直线AB的方程为y＝，代入抛物线方程y2＝3x，整理得x2－x＋＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝.由抛物线的定义可得弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝＋＝12，法二由抛物线焦点弦的性质可得|AB|＝＝＝12，结合图象可得O到直线AB的距离d＝sin30°＝，所以△OAB的面积S＝|AB|·d＝.答案D二、填空题6．(·北京海淀区模拟)若抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的左顶点，则p＝________．解析由题意知抛物线的准线为x＝－，双曲线x2－y2＝1的左顶点为(－1，0)，所以－＝－1，p＝2.答案27．(·银川质量检测)已知一条过点P(2，1)的直线与抛物线y2＝2x交于A，B两点，且P是弦AB的中点，则直线AB的方程为________．解析依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有y＝2x1，y＝2x2，两式相减得y－y＝2(x1－x2)，即＝＝1，直线AB的斜率为1，直线AB的方程是y－1＝x－2，即x－y－1＝0.答案x－y－1＝08．(·沈阳质量监测)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，△ABC的顶点都在抛物线上，且满足FA＋FB＋FC＝0，则＋＋＝________．解析设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，F，则＋＋＝(0，0)，故y1＋y2＋y3＝0.因为＝＝＝，同理可知＝，＝，所以原式＝＝0.答案0三、解答题9.如图，已知抛物线y2＝2px(p>0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，两直角边OA与OB的长分别为1和8，求抛物线的方程．解设直线OA的方程为y＝kx，k≠0，则直线OB的方程为y＝－x，由得x＝0或x＝.A∴点坐标为，同理得B点坐标为(2pk2，－2pk)，由|OA|＝1，|OB|＝8，可得÷②①解方程组得k6＝64，即k2＝4.则p2＝＝.又p>0，则p＝，故所求抛物线方程为y2＝x.10．(·陕西卷)如图，曲线C由上半椭圆C1：＋＝1(a>b>0，y≥0)和部分抛物线C2：y＝－x2＋1(y≤0)连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为.(1)求a，b的值；(2)过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q(均异于点A，B)，若AP⊥AQ，求直线l的方程．解(1)在C1，C2的方程中，令y＝0，可得b＝1，且A(－1，0)，B(1，0)是上半椭圆C1的左、右顶点．设C1的半焦距为c，由＝及a2－c2＝b2＝1得a＝2.a∴＝2，b＝1.(2)由(1)知，上半椭圆C1的方程为＋x2＝1(y≥0)．易知，直线l与x轴不重合也不垂直，设其方程为y＝k(x－1)(k≠0)，代入C1的方程，整理得(k2＋4)x2－2k2x＋k2－4＝0.(*)设点P的坐标为(xP，yP)， 直线l过点B，∴x＝1是方程(*)的一个根．由求根公式，得xP＝，从而yP＝，∴点P的坐标为.同理，由得点Q的坐标为(－k－1，－k2－2k)．∴AP＝(k，－4)，AQ＝－k(1，k＋2)．APAQ ⊥，∴AP·AQ＝0，即[k－4(k＋2)]＝0，k≠0 ，∴k－4(k＋2)＝0，解得k＝－.经检验，k＝－符合题意，故直线l的方程为y＝－(x－1)．能力提升题组(建议用时：25分钟)11．(·太原模拟)已知P是抛物线y2＝2x上动点，A，若点P到y轴的距离为d1，点P到点A...
