第8讲曲线与方程基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．(·石家庄质检)“已知命题曲线C上的点的坐标是方程f(x，y)＝0”的解是正确的，则下列命题中正确的是()A．满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上B．方程f(x，y)＝0是曲线C的方程C．方程f(x，y)＝0所表示的曲线不一定是CD．以上说法都正确解析曲线C可能只是方程f(x，y)＝0所表示的曲线上的某一小段，因此只有C正确．答案C2．设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则C的圆心轨迹为()A．抛物线B．双曲线C．椭圆D．圆解析设圆C的半径为r，则圆心C到直线y＝0的距离为r，由两圆外切可得，圆心C到点(0，3)的距离为r＋1，也就是说，圆心C到点(0，3)的距离比到直线y＝0的距离大1，故点C到点(0，3)的距离和它到直线y＝－1的距离相等，符合抛物线的特征，故点C的轨迹为抛物线．答案A3．(·大连模拟)已知M(－2，0)，N(2，0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程为()A．x2＋y2＝2B．x2＋y2＝4C．x2＋y2＝2(x≠±2)D．x2＋y2＝4(x≠±2)解析MN的中点为原点O，易知|OP|＝|MN|＝2，P∴的轨迹是以原点O为圆心，以r＝2为半径的圆，除去与x轴的两个交点．答案D4．(·珠海模拟)已知点A(1，0)，直线l：y＝2x－4，点R是直线l上的一点，若RA＝AP，则点P的轨迹方程为()A.y＝－2xB．y＝2xC．y＝2x－8D．y＝2x＋4解析设P(x，y)，R(x1，y1)，由RA＝AP知，点A是线段RP的中点，∴即 点R(x1，y1)在直线y＝2x－4上，y1∴＝2x1－4，∴－y＝2(2－x)－4，即y＝2x.答案B5．(·天津津南一模)平面直角坐标系中，已知两点A(3，1)，B(－1，3)，若点C满足OC＝λ1OA＋λ2OB(O为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹是()A．直线B．椭圆C．圆D．双曲线解析设C(x，y)，因为OC＝λ1OA＋λ2OB，所以(x，y)＝λ1(3，1)＋λ2(－1，3)，即解得又λ1＋λ2＝1，所以＋＝1，即x＋2y＝5，所以点C的轨迹为直线，故选A.答案A二、填空题6．已知两定点A(－2，0)，B(1，0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积为__________．解析设P(x，y)，由|PA|＝2|PB|，得＝2，3x2∴＋3y2－12x＝0，即x2＋y2－4x＝0.P∴的轨迹为以(2，0)为圆心，半径为2的圆．即轨迹所包围的面积等于4π.答案4π7．(·新课标全国Ⅱ卷)在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2.则圆心P的轨迹方程为__________．解析设P(x，y)，圆P的半径为r.由题设y2＋2＝r2，x2＋3＝r2，从而y2＋2＝x2＋3.故P点的轨迹方程为y2－x2＝1.答案y2－x2＝18．(·南京模拟)P是椭圆＋＝1上的任意一点，F1，F2是它的两个焦点，O为坐标原点，OQ＝PF1＋PF2，则动点Q的轨迹方程是__________．解析由于OQ＝PF1＋PF2，又PF1＋PF2＝PM＝2PO＝－2OP，设Q(x，y)，则OP＝－OQ＝(－，－)，即P点坐标为(－，－)，又P在椭圆上，则有＋＝1上，即＋＝1.答案＋＝1三、解答题9．设F(1，0)，M点在x轴上，P点在y轴上，且MN＝2MP，PM⊥PF，当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹方程．解设M(x0，0)，P(0，y0)，N(x，y)， PM⊥PF，PM＝(x0，－y0)，PF＝(1，－y0)，∴(x0，－y0)·(1，－y0)＝0，∴x0＋y＝0.由MN＝2MP得(x－x0，y)＝2(－x0，y0)，∴即∴－x＋＝0，即y2＝4x.故所求的点N的轨迹方程是y2＝4x.10．已知两个定圆O1和O2，它们的半径分别是1和2，且|O1O2|＝4，动圆M与圆O1内切，又与圆O2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．解如图所示，以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴建立平面直角坐标系．由|O1O2|＝4，得O1(－2，0)、O2(2，0)．设动圆M的半径为r，则由动圆M与圆O1内切，有|MO1|＝r－1；由动圆M与圆O2外切，有|MO2|＝r＋2.|MO2|∴－|MO1|＝3.∴点M的轨迹是以O1，O2为焦点，实轴长为3的双曲线的左支．a∴＝，c＝2，∴b2＝c2－a2＝.∴点M的轨迹方程为－＝1(x≤－)．能力提升题组(建议用时：25分钟)11．(·合肥模拟)动点P在直线x＝1上运动，O为坐标原点．以OP为直角边，点O为直角顶点作等腰直角三角形OPQ，则动点Q的轨迹是()A．圆B．两条平行直线C．抛物线D．双曲线解析设Q(x，y)，P(1，y0)，由题意知|OP|＝|OQ|，且OP...
