高考数学 高频考点归类分析 应用不等式（含基本不等式）求最值（真题为例）VIP免费

应用不等式（含基本不等式）求最值典型例题：例1.（年安徽省理13分）设（I）求在上的最小值；（II）设曲线在点的切线方程为；求的值。【答案】解：（I）设，则。∴。①当时，。∴在上是增函数。∴当时，的最小值为。②当时，∴当且仅当时，的最小值为。（II） ，∴。由题意得：，即，解得。【考点】复合函数的应用，导数的应用，函数的增减性，基本不等式的应用。【解析】（I）根据导数的的性质分和求解。（II）根据切线的几何意义列方程组求解。例2.（年安徽省文12分）设定义在（0，+）上的函数（Ⅰ）求的最小值；（II）若曲线在点处的切线方程为，求的值。【答案】解：（I） ，∴当且仅当时，的最小值为。（II） 曲线在点处的切线方程为，∴。∴①。又 ，∴②。解①②得：。【考点】基本不等式的应用，导数的应用。【解析】（I）应用基本不等式即可求得的最小值。（II）由和联立方程组，求解即可求得的值。例3.（年陕西省理5分）在中，角所对边长分别为，若，则的最小值为【】A.B.C.D.【答案】C。【考点】余弦定理，基本不等式的应用。【解析】通过余弦定理求出cosC的表达式，利用基本不等式求出cosC的最小值： ，∴。∴由余弦定理得，当且仅当“时取=”。∴的最小值为。故选C。例4.（年安徽省理5分）若平面向量满足：；则的最小值是▲来【答案】。【考点】平面向量，基本不等式的应用。【解析】 ，∴。又 ，∴。∴。∴的最小值是。例5.（年天津市理5分）设，，若直线与圆相切，则的取值范围是【】（A）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）【答案】D。【考点】直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，重要不等式，一元二次不等式的解法【分析】 直线与圆相切，∴圆心到直线的距离为，∴。又 ，∴，即。∴。设，则，解得。故选D。例6.（年湖南省理5分）已知两条直线：和：，与函数的图像从左至右相交于点A，B，与函数的图像从左至右相交于C,D.记线段AC和BD在X轴上的投影长度分别为,,当m变化时，的最小值为【】[A．B.C.D.【答案】B。【考点】数形结合，函数的图象，基本不等式的应用。【解析】如图，在同一坐标系中作出，，图像，由，得，由，得。根据题意得。 ，∴。故选B。例7.（年福建省理5分）下列不等式一定成立的是【】A．lg＞lgx(x＞0)B．sinx≥＋2(x≠kπ，k∈)C．x2＋1≥2|x|(x∈)D.＞1(x∈)【答案】C。【考点】不等式的性质以及基本不等式的应用。【解析】对于A，当x＝时，lg＝lgx，所以A不一定成立；对于B，当sinx>0时，不等式才成立，所以B不一定成立；对于C，命题显然正确；对于D， x2＋1≥1，∴0<≤1，所以D不成立.故选C。例8.（年北京市理14分）已知曲线C：（1）若曲线C是焦点在x轴点上的椭圆，求m的取值范围；（2）设m=4，曲线c与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），直线与曲线c交于不同的两点M、N，直线y=1与直线BM交于点G。求证：A，G，N三点共线。【答案】（1）原曲线方程可化为：。 曲线C是焦点在x轴点上的椭圆，∴，是。∴若曲线C是焦点在x轴点上的椭圆，则m的取值范围为。（2）证明： m=4，∴曲线c的方程为。将已知直线代入椭圆方程化简得：。由得，。由韦达定理得：。设。则MB的方程为，∴。AN的方程为。欲证A，G，N三点共线，只需证点G在直线AN上。将代入，得，即，即，即，等式恒成立。由于以上各步是可逆的，从而点在直线AN上。∴A，G，N三点共线。【考点】椭圆的性质，韦达定理的应用，求直线方程，三点共线的证明。【解析】（1）根据椭圆长轴大于短轴和长、短轴大于0得不等式组求解即得m的取值范围。（2）欲证A，G，N三点共线，只需证点G在直线AN上。故需求出含待定系数的直线MB和AN的方程，点G的坐标，结合韦达定理的应用用逆推证明。也可通过证明直线MB和AN在时横坐标相等来证A，G，N三点共线或直线AN和AG斜率相等。还可用向量求解。例9.（年四川省理12分）如图，动点到两定点、构成，且，设动点的轨迹为。（Ⅰ）求轨迹的方程；（Ⅱ）设直线与轴交于点，与轨迹相交于点，且，求的取值范围。yxBAOM【答案】解：（Ⅰ）设M的坐标为（x，y），显然有x>0且。当∠MBA=90°时，点M的坐标为（2，,±3）。当∠MBA≠90°时，x≠2。由得tan∠MBA=，即化简得：...