高考数学 高频考点归类分析 应用单调性等性质求最值（真题为例）VIP免费

应用单调性等性质求最值典型例题：例1.（年四川省理12分）已知数列的前项和为，且对一切正整数都成立。（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）设，数列的前项和为，当为何值时，最大？并求出的最大值。【答案】解：（Ⅰ）取n=1，得①取n=2，得②由②－①，得③（1）若=0,由①知=0。（2）若，则,④由①④得：。（Ⅱ）当时，由（I）知，。当时，有⑤，⑥，⑤－⑥，即∴=。∴。令，则∴数列{}是以为公差，且单调递减的等差数列。∴b1>b2>b3>…>b7=；当n≥8时，bn≤b8=。∴n=7时，取得最大值，且的最大值为=。【考点】等差数列、等比数列、对数等基础知识，方程、分类与整合、化归与转化等数学思想的应用。【解析】（Ⅰ）取n=1和n=2可得关于，的方程，解之即得。（Ⅱ）作差求得，代入，根据对数的性质求解。例2.（年湖南省文5分）对于，将n表示为,当时，当时为0或1，定义如下：在的上述表示中，当，a2…，，ak中等于1的个数为奇数时，bn=1；否则bn=0.[中国教#*育&出版^网@]（1）b2+b4+b6+b8=▲.；（2）记cm为数列{bn}中第m个为0的项与第m+1个为0的项之间的项数，则cm的最大值是▲..【答案】（1）3；（2）2。【考点】数列问题。【解析】（1）观察知；；依次类推；；；，；；∴b2+b4+b6+b8=３。（2）由（1）知cm的最大值为２。例3.（年四川省文12分）已知数列的前项和为，常数，且对一切正整数都成立。（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，，当为何值时，数列的前项和最大？【答案】解：（Ⅰ）取n=1，得，∴。若=0，则=0,当n时，。若，则，有当n时，，，两个相减得：，∴。∴数列公比是2的等比数列。综上所述，若=0,则；若，则。（Ⅱ）当且时，令，则。∴是单调递减的等差数列（公差为－lg2）则b1>b2>b3>…>b6=；当n≥7时，bn≤b7=。∴数列{lg}的前6项的和最大，即当=6时，数列的前项和最大。【考点】等差数列、等比数列、对数等基础知识，分类与整合、化归与转化等数学思想的应用。【解析】（I）由题意，n=1时，由已知可知，分类讨论：由=0及，结合数列的和与项的递推公式可求。（II）由且时，令，则，结合数列的单调性可求和的最大项。例4.（年四川省理14分）已知为正实数，为自然数，抛物线与轴正半轴相交于点，设为该抛物线在点处的切线在轴上的截距。（Ⅰ）用和表示；（Ⅱ）求对所有都有成立的的最小值；（Ⅲ）当时，比较与的大小，并说明理由。【答案】解：（Ⅰ）由已知得，交点A的坐标为，对求导得。∴抛物线在点A处的切线方程为，即。∴。（Ⅱ）由（1）知，则成立的充要条件是。即知，对于所有的n成立，特别地，取n=2时，得到。当时,。当n=0，1，2时，显然。∴当时，对所有自然数都成立。∴满足条件的的最小值是。（Ⅲ）由（1）知，则，。下面证明：。首先证明：当0