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高考数学 高频考点归类分析 应用单调性等性质求最值(真题为例)VIP免费

高考数学 高频考点归类分析 应用单调性等性质求最值(真题为例)_第1页
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应用单调性等性质求最值典型例题:例1.(年四川省理12分)已知数列的前项和为,且对一切正整数都成立。(Ⅰ)求,的值;(Ⅱ)设,数列的前项和为,当为何值时,最大?并求出的最大值。【答案】解:(Ⅰ)取n=1,得①取n=2,得②由②-①,得③(1)若=0,由①知=0。(2)若,则,④由①④得:。(Ⅱ)当时,由(I)知,。当时,有⑤,⑥,⑤-⑥,即∴=。∴。令,则∴数列{}是以为公差,且单调递减的等差数列。∴b1>b2>b3>…>b7=;当n≥8时,bn≤b8=。∴n=7时,取得最大值,且的最大值为=。【考点】等差数列、等比数列、对数等基础知识,方程、分类与整合、化归与转化等数学思想的应用。【解析】(Ⅰ)取n=1和n=2可得关于,的方程,解之即得。(Ⅱ)作差求得,代入,根据对数的性质求解。例2.(年湖南省文5分)对于,将n表示为,当时,当时为0或1,定义如下:在的上述表示中,当,a2…,,ak中等于1的个数为奇数时,bn=1;否则bn=0.[中国教#*育&出版^网@](1)b2+b4+b6+b8=▲.;(2)记cm为数列{bn}中第m个为0的项与第m+1个为0的项之间的项数,则cm的最大值是▲..【答案】(1)3;(2)2。【考点】数列问题。【解析】(1)观察知;;依次类推;;;,;;∴b2+b4+b6+b8=3。(2)由(1)知cm的最大值为2。例3.(年四川省文12分)已知数列的前项和为,常数,且对一切正整数都成立。(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)设,,当为何值时,数列的前项和最大?【答案】解:(Ⅰ)取n=1,得,∴。若=0,则=0,当n时,。若,则,有当n时,,,两个相减得:,∴。∴数列公比是2的等比数列。综上所述,若=0,则;若,则。(Ⅱ)当且时,令,则。∴是单调递减的等差数列(公差为-lg2)则b1>b2>b3>…>b6=;当n≥7时,bn≤b7=。∴数列{lg}的前6项的和最大,即当=6时,数列的前项和最大。【考点】等差数列、等比数列、对数等基础知识,分类与整合、化归与转化等数学思想的应用。【解析】(I)由题意,n=1时,由已知可知,分类讨论:由=0及,结合数列的和与项的递推公式可求。(II)由且时,令,则,结合数列的单调性可求和的最大项。例4.(年四川省理14分)已知为正实数,为自然数,抛物线与轴正半轴相交于点,设为该抛物线在点处的切线在轴上的截距。(Ⅰ)用和表示;(Ⅱ)求对所有都有成立的的最小值;(Ⅲ)当时,比较与的大小,并说明理由。【答案】解:(Ⅰ)由已知得,交点A的坐标为,对求导得。∴抛物线在点A处的切线方程为,即。∴。(Ⅱ)由(1)知,则成立的充要条件是。即知,对于所有的n成立,特别地,取n=2时,得到。当时,。当n=0,1,2时,显然。∴当时,对所有自然数都成立。∴满足条件的的最小值是。(Ⅲ)由(1)知,则,。下面证明:。首先证明:当0

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