高考数学 高频考点归类分析 应用导数求函数的最（极）值（真题为例）VIP免费

【一线名师倾力整理推荐】备战高考数学高频考点归类分析（真题为例）：应用导数求函数的最（极）值一、极限的计算：典型例题：例1.（年四川省理5分）函数在处的极限是【】A、不存在B、等于C、等于D、等于【答案】A。【考点】分段函数，极限。【解析】分段函数在处不是无限靠近同一个值，故不存在极限。故选A。例2.（年重庆市理5分）▲.【答案】。【考点】极限的运算。【分析】。例3.（年上海市理4分）有一列正方体，棱长组成以1为首项，为公比的等比数列，体积分别记为，则▲.【答案】。【考点】无穷递缩等比数列的极限，等比数列的通项公式。【解析】由正方体的棱长组成以1为首项，21为公比的等比数列，可知它们的体积则组成了一个以1为首项，81为公比的等比数列，因此，。二、应用导数求函数的最（极）值：典型例题：例1.（年重庆市理5分）设函数在上可导，其导函数为，且函数的图像如题图所示，则下列结论中一定成立的是【】（A）函数有极大值和极小值（B）函数有极大值和极小值（C）函数有极大值和极小值（D）函数有极大值和极小值【答案】D。【考点】函数在某点取得极值的条件，函数的图象。【分析】由图象知，与轴有三个交点，－2，1，2，∴。由此得到，，，和在上的情况：－212＋0－0＋0－＋＋＋0－－－＋0－－－0＋↗极大值↘非极值↘极小值↗∴的极大值为，的极小值为。故选D。例2.（年陕西省理5分）设函数，则【】A.为的极大值点B.为的极小值点C.为的极大值点D.为的极小值点【答案】D。【考点】应用导数求函数的极值。【解析】 ，令得。∴当时，，为减函数；当时，，为增函数，所以为的极小值点。故选D。例3.（年陕西省文5分）设函数则【】A．=为的极大值点B．=为的极小值点C．=2为的极大值点D．=2为的极小值点【答案】D。【考点】应用导数求函数的极值。【解析】 ，令得。∴当时，，为减函数；当时，，为增函数。∴为的极小值点。故选D。例4.（年广东省理14分）设a＜1，集合，（1）求集合D（用区间表示）（2）求函数在D内的极值点。【答案】解：（1）设，方程的判别式①当时，，恒成立，∴。∴，即集合D=。②当时，，方程的两根为，。∴∴，即集合D=。③当时，，方程的两根为，。∴∴，即集合D=。（2）令得的可能极值点为。①当时，由（1）知，所以随的变化情况如下表：00↗极大值↘极小值↗∴在D内有两个极值点为：极大值点为，极小值点为。②当时，由（1）知=。 ，∴，∴随的变化情况如下表：0↗极大值↘↗∴在D内仅有一个极值点：极大值点为，没有极小值点。③当时，由（1）知。 ，∴。∴。∴。∴在D内没有极值点。【考点】分类思想的应用，集合的计算，解不等式，导数的应用。【解析】（1）根据根的判别式应用分类思想分、、讨论即可，计算比较繁。（2）求出得到的可能极值点为。仍然分、、讨论。例5.（年浙江省理14分）已知，，函数．（Ⅰ）证明：当时，（i）函数的最大值为；（ii）；（Ⅱ）若对恒成立，求的取值范围．【答案】(Ⅰ)证明：(ⅰ)．当b≤0时，＞0在0≤x≤1上恒成立，此时的最大值为：＝|2a－b|﹢a；当b＞0时，在0≤x≤1上的正负性不能判断，此时的最大值为：＝|2a－b|﹢a。综上所述：函数在0≤x≤1上的最大值为|2a－b|﹢a。(ⅱ)设＝﹣， ，∴令。当b≤0时，＜0在0≤x≤1上恒成立，此时的最大值为：＝|2a－b|﹢a；当b＜0时，在0≤x≤1上的正负性不能判断，≤|2a－b|﹢a。综上所述：函数在0≤x≤1上的最大值小于(或等于)|2a－b|﹢a，即＋|2a－b|﹢a≥0在0≤x≤1上恒成立。(Ⅱ)解：由(Ⅰ)知：函数在0≤x≤1上的最大值为|2a－b|﹢a，且函数在0≤x≤1上的最小值比﹣(|2a－b|﹢a)要大。 ﹣1≤≤1对x[0，1]恒成立，∴|2a－b|﹢a≤1。取b为纵轴，a为横轴．则可行域为：和，目标函数为z＝a＋b。作图如下：由图易得：当目标函数为z＝a＋b过P(1，2)时，有．∴所求a＋b的取值范围为：。【考点】分类思想的应用，不等式的证明，利用导数求闭区间上函数的最值，简单线性规划。【解析】(Ⅰ)(ⅰ)求导后，分b≤0和b＞0讨论即可。(ⅱ)利用分析法，要证＋|2a－b|﹢a≥0，即证＝﹣≤|2a－b|﹢a，亦即证在0≤x≤1上的最大值小于(或等于)|2a－b|﹢a。（Ⅱ）由（Ⅰ）知...