应用导数求最值典型例题：例1.（年全国课标卷理5分）设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为【】【答案】。【考点】反函数的性质，导数的应用。【解析】 函数与函数互为反函数，∴它们的图象关于对称。∴函数上的点到直线的距离为设函数，则，∴。∴。∴由图象关于对称得：最小值为。故选。例2.（年重庆市理5分）设函数在上可导，其导函数为，且函数的图像如题图所示，则下列结论中一定成立的是【】（A）函数有极大值和极小值（B）函数有极大值和极小值（C）函数有极大值和极小值（D）函数有极大值和极小值【答案】D。【考点】函数在某点取得极值的条件，函数的图象。【分析】由图象知，与轴有三个交点，－2，1，2，∴。由此得到，，，和在上的情况：－212＋0－0＋0－＋＋＋0－－－＋0－－－0＋↗极大值↘非极值↘极小值↗∴的极大值为，的极小值为。故选D。例3.（年陕西省理5分）设函数，则【】A.为的极大值点B.为的极小值点C.为的极大值点D.为的极小值点【答案】D。【考点】应用导数求函数的极值。【解析】 ，令得。∴当时，，为减函数；当时，，为增函数，所以为的极小值点。故选D。例4.（年陕西省文5分）设函数则【】A．=为的极大值点B．=为的极小值点C．=2为的极大值点D．=2为的极小值点【答案】D。【考点】应用导数求函数的极值。【解析】 ，令得。∴当时，，为减函数；当时，，为增函数。∴为的极小值点。故选D。例5.（年全国课标卷理12分）已知函数满足满足；（1）求的解析式及单调区间；（2）若，求的最大值。【答案】解：（1） ，∴。令得，。∴。∴，得。∴的解析式为。设，则。∴在上单调递增。又 时，，单调递增；时，，单调递减。∴的单调区间为：单调递增区间为，单调递减区间为。（2） ，∴。令得。①当时，，∴在上单调递增。但时，与矛盾。②当时，由得；由得。∴当时，∴。令；则。由得；由得。∴当时，∴当时，的最大值为。【考点】函数和导函数的性质。【解析】（1）由求出和即可得到的解析式，根据导数的性质求出单调区间。（2）由和，表示出，根据导函数的性质求解。例6.（年北京市理13分）已知函数（1）若曲线与曲线在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a、b的值；（2）当时，求函数∞的单调区间，并求其在区间（－，－1）上的最大值。【答案】解：（1） （1，c）为公共切点，∴。∴，即①。又 ，∴。又 曲线与曲线在它们的交点（1，c）处具有公共切线，∴②。解①②，得。（2） ，∴设。则。令，解得。 ，∴。又 在各区间的情况如下：＋0－0＋∴在单调递增，在单调递减，在上单调递增。①若，即时，最大值为；②若，即时，最大值为。③若时，即时，最大值为。综上所述：当时，最大值为；当时，最大值为1。【考点】函数的单调区间和最大值，切线的斜率，导数的应用。【解析】（1）由曲线与曲线有公共点（1，c）可得；由曲线与曲线在它们的交点（1，c）处具有公共切线可得两切线的斜率相等，即。联立两式即可求出a、b的值。（2）由得到只含一个参数的方程，求导可得的单调区间；根据，和三种情况讨论的最大值。例7.（年天津市理14分）已知函数的最小值为，其中.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若对任意的,有成立，求实数的最小值；（Ⅲ）证明.【答案】解：（Ⅰ）函数的定义域为，求导函数可得.令，得。当变化时，和的变化情况如下表：－0＋↘极小值↗∴在处取得极小值。∴由题意，得。∴。（Ⅱ）当≤0时，取，有，故≤0不合题意。当＞0时，令，即。求导函数可得。令，得。①当时，≤0，在（0，+∞）上恒成立，因此在（0，+∞）上单调递减，从而对任意的），总有，即对任意的，有成立。∴符合题意。②当时，＞0，对于(0，)，＞0，因此在(0，)上单调递增，因此取(0，)时，，即有不成立。∴不合题意。综上，实数的最小值为。（Ⅲ）证明：当=1时，不等式左边=2－ln3＜2=右边，所以不等式成立。当≥2时，。在（2）中，取，得，∴。∴综上，。【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用，利用导数求闭区间上函数的最值。【分析】（Ⅰ）确定函数的定义域，求导函数，确定函数的单调性，求得函数的最小值，利用函数的最小值为，即可求得的值。（Ⅱ）当≤0时，取...
