高考数学 高频考点归类分析 应用导数讨论函数的增减性（真题为例）VIP免费

应用导数讨论函数的增减性典型例题：例1.（年浙江省理5分）设，【】A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】A。【考点】函数的单调性，导数的应用。【解析】对选项A，若，必有。构造函数：，则恒成立，故有函数在x＞0上单调递增，即a＞b成立。其余选项用同样方法排除。故选A。例2.（年湖南省文5分）设定义在R上的函数是最小正周期为2的偶函数，是的导函数，当时，0＜＜1；当且时，，则函数在[-2，2]上的零点个数为【】A.2B.4C.5D.8【答案】Ｂ。【考点】函数的周期性、奇偶性、图像及两个图像的交点问题。【解析】由当且≠时，，知为减函数；为增函数。又时，0＜f(x)＜1，在R上的函数f(x)是最小正周期为2的偶函数，在同一坐标系中作出和草图像如下，由图知在[-2，2]上的零点个数为4个。例3.（2012年辽宁省文5分）函数的单调递减区间为【】（A）（1,1]（B）（0,1]（C.）[1，+∞）（D）（0，+∞）【答案】B。【考点】用导数求函数的单调区间。【解析】 ，∴。∴。故选B。例4.（年辽宁省理5分）若，则下列不等式恒成立的是【】(A)(B)(C)(D)【答案】C。【考点】导数公式，利用导数，通过函数的单调性与最值来证明不等式。【解析】设，则所以所以当时，同理∴即。故选C。例5.（年山东省文4分）若函数在［－1，2］上的最大值为4，最小值为m，且函数在上是增函数，则a＝▲.【答案】。【考点】函数的增减性。【解析】 ，∴。当时， ，函数是增函数，∴在［－1，2］上的最大值为，最小值为。此时，它在上是减函数，与题设不符。当时， ，函数是减函数，∴在［－1，2］上的最大值为，最小值为。此时，它在上是增函数，符合题意。综上所述，满足条件的。例6.（年浙江省文15分）已知a∈R，函数（1）求的单调区间（2）证明：当0≤≤1时，+＞0.【答案】解：（1）由题意得，当时，恒成立，此时的单调递增区间为；当时，，此时函数的单调递增区间为。（2）由于，当时，；当时，。设，则。则有01－－0＋＋1减极小值增1∴。∴当时，总有。∴。【考点】分类思想的应用，利用导数求闭区间上函数的最值和单调区间，不等式的证明。【解析】（1）求出导数，分和讨论即可。（2）根据，分和两种情形，得到，从而设出新函数，应用导数，证出，得到恒成立，即。例7.（年天津市理5分）函数在区间内的零点个数是【】（A）0（Ｂ）1（Ｃ）2（Ｄ）3【答案】B。【考点】函数的零点的概念，函数的单调性，导数的应用。【分析】 ，∴函数在定义域内单调递增。又 ，。∴函数在区间（0，1）内有唯一的零点。故选B。例8.（年福建省文14分）已知函数f(x)＝axsinx－(a∈R)，且在上的最大值为.（I）求函数f(x)的解析式；（II）判断函数f(x)在(0，π)内的零点个数，并加以证明．【答案】解：（I）由已知f′(x)＝a(sinx＋xcosx)，对于任意x∈，有sinx＋xcosx＞0。当a＝0时，f(x)＝－，不合题意；当a＜0，x∈时，f′(x)＜0，从而f(x)在内单调递减，又f(x)在上的图象是连续不断的，故f(x)在上的最大值为f(0)＝－，不合题意；当a＞0，x∈时，f′(x)＞0，从而f(x)在内单调递增，又f(x)在上的图象是连续不断的，故f(x)在上的最大值为f，即a－＝，解得a＝1。综上所述，函数f(x)的解析式为f(x)＝xsinx－。（II）f(x)在(0，π)内有且只有两个零点。证明如下：由（I）知，f(x)＝xsinx－，从而有f(0)＝－＜0，f＝＞0。又f(x)在上的图象是连续不断的，所以f(x)在内至少存在一个零点。又由（I）知f(x)在上单调递增，故f(x)在内有且仅有一个零点。当x∈时，令g(x)＝f′(x)＝sinx＋xcosx.由g＝1＞0，g(π)＝－π＜0，且g(x)在上的图象是连续不断的，故存在m∈，使得g(m)＝0。由g′(x)＝2cosx－xsinx，知x∈时，有g′(x)＜0，从而g(x)在内单调递减。当x∈时，g(x)＞g(m)＝0，即f′(x)＞0，从而f(x)在内单调递增，故当x∈时，f(x)≥f＝＞0，故f(x)在上无零点；当x∈(m，π)时，有g(x)＜g(m)＝0，即f′(x)＜0，从而f(x)在(m，π)内单调递减．又f(m)＞0，f(π)＜0，且f(x)在[m，π]上的图象是连续不断的，从而f(x)在(m，π)内有且仅有一个零点。综上所述，f(x)在(0，π)内有且只有两个零点。【考点】利用导数求闭区间上函数的最值，函...