应用函数的值域求最值典型例题：例1.（年福建省理4分）对于实数a和b“，定义运算*”：a*b＝设，且关于x的方程恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是▲．【答案】。【考点】新定义，分段函数的图象和性质，分类讨论和数形结合思想的应用。【解析】根据新运算符号得到函数为，化简得：。如图，作出函数和的图象，如果有三个不同的实数解，即直线与函数f(x)的图象有三个交点，如图，（1）当直线过抛物线的顶点或时，有两个交点；（2）当直线中时，有一个交点；（3）当直线中时，有三个交点。设三个交点分别为：x1，x2，x3，且依次是从小到大的顺序排列，所以x1即为方程2x2－x＝小于0的解，解得x1＝，此时x2＝x3＝，所以x1·x2·x3＝××＝。与函数f(x)有2个交点的最低位置是当y＝m与x轴重合时，此时x1·x2·x3＝0。所以当方程有三个不等实根时，x1·x2·x3∈。例2.（年全国课标卷文5分）当时，，则a的取值范围是【】（A）(0，)（B）(，1)（C）(1，)（D）(，2)【答案】B。【考点】指数函数和对数函数的性质。【解析】设,作图。 当时，,∴在时,的图象在的图象上方。根据对数函数的性质，。∴单调递减。∴由时，得，解得。∴要使时，，必须。∴a的取值范围是(，1)。故选B。例3.（年陕西省理14分）设函数（1）设，，证明：在区间内存在唯一的零点；（2）设，若对任意，有，求的取值范围；（3）在（1）的条件下，设是在内的零点，判断数列的增减性.【答案】解：（1）证明：，时，。 ，∴在内存在零点。又 当时，，∴在上单调递增。∴在内存在唯一零点。（2）当时，。对任意都有等价于在上最大值与最小值之差，据此分类讨论如下：（ⅰ）当，即时，，与题设矛盾。（ⅱ）当，即时，恒成立。（ⅲ）当，即时，恒成立。综上所述，的取值范围为。（3）设是在内的唯一零点，则，，。∴。又由（1）知在上是递增的，∴。∴数列是递增数列。【考点】函数与方程，导数的综合应用、函数与数列的综合。【解析】（1）一方面由得在内存在零点；另一方面由当时，得在上单调递增。从而得出在内存在唯一零点。（2）对任意都有等价于在上最大值与最小值之差，据此分、和讨论即可。（3）设是在内的唯一零点，则可得。又由（1）知在上是递增的，∴。从而得到数列是递增数列。另解：设是在内的唯一零点， 则的零点在内，故。所以，数列是递增数列。例4.（年天津市文14分）已知函数，其中.（I）求函数的单调区间；（II）若函数在区间（－2，0）内恰有两个零点，求的取值范围；（III）当=1时，设函数在区间上的最大值为M（），最小值为m（）,记，求函数在区间上的最小值。【答案】解：（I）求导函数可得。令，可得。当变化时，和的变化情况如下表：＋0－0＋↗极大值↘极小值↗∴函数的递增区间为，，单调递减区间为。（II）由（I）知函数在区间（－2，－1）内单调递增，在（－1，0）内单调递减，∴函数在（－2，0）内恰有两个零点。∴，即，解得。∴的取值范围为(0，)。（III）=1时，，由（I）知，函数在（－3，－1）上单调递增，在（－1，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增。①当]时，，－1∈[，+3]，在[，－1]上单调递增，在[－1，+3]上单调递减。∴函数在[，+3]上的最大值为M（）=，而最小值m（）为与中的较小者。由知，当∈[－3，－2]时，，故m（）=f（），所以。而在[－3，－2]上单调递增，因此。∴在[－3，－2]上的最小值为。②当∈[－2，－1]时，+3∈[1，2]，－1，1∈[，+3]。下面比较的大小：由在[－2，－1]，[1，2]上单调递增，有。 ，∴M（）=，m（）=∴在[－2，－1]上的最小值为。综上，函数在区间[－3，－1]上的最小值为。【考点】利用导数求闭区间上函数的最值，利用导数研究函数的极值和单调性。【分析】（I）求导函数，令＞0，可得函数的递增区间；令＜0，可得单调递减区间。（II）由（I）知函数在区间（－2，－1）内单调递增，在（－1，0）内单调递减，从而函数在（－2，0）内恰有两个零点，由此可求的取值范围。（III）=1时，，由（I）知，函数在（－3，－1）上单调递增，在（－1，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增，再进行分类讨论：①当∈[－3，－2]时，+3∈[0，...
