应用几何、向量知识求最值典型例题：例1.（年重庆市理5分）设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，和，且长为的棱与长为的棱异面，则的取值范围是【】（A）（B）（C）（D）【答案】A。【考点】异面直线的判定，棱锥的结构特征，勾股定理和余弦定理的应用。【分析】如图所示，设四面体的棱长为，取中点P，连接，所以，在中，由勾股定理得=。∴在中，。∵，∴。∴∴。故选A。例2.（年上海市理4分）在平行四边形ABCD中，3A，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足||||||||CDCNBCBM，则ANAM的取值范围是▲.【答案】。【考点】平面向量的基本运算。【解析】如图所示，以为原点，向量AB所在直线为x轴，过垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系。∵平行四边形ABCD中，3A，1,2ADAB，∴。设，则。∴由||||||||CDCNBCBM得，。∴的横坐标为，的纵坐标为。∴∴。∵函数在有最大值，∴在时，函数单调增加。∴在时有最小值2；在时有最大值5。∴的取值范围是。例3.（年上海市理4分）如图，与是四面体中互相垂直的棱，，若，且，其中、为常数，则四面体的体积的最大值是▲.【答案】13222cac。【考点】四面体中线面的关系，椭圆的性质。【解析】作于，连接，则∵，，∴⊥平面。又∵平面，∴。由题设，，∴与都在以为焦距的椭球上，且、都垂直于焦距所在直线。∴=。取中点，连接，∵，∴⊥，，。∴。∴四面体的体积。显然，当在中点，即是短轴端点时，有最大值为。∴。例4.（年北京市理5分）已知正方形ABCD的边长为l，点E是AB边上的动点。则的值为▲；的最大值为▲【答案】1；1。【考点】平面向量的运算法则。【解析】如图，根据平面向量的运算法则，得。∵，正方形ABCD的边长为l，∴。又∵，而就是在上的射影，要使其最大即要点E与点B重合，此时。∴的最大值为。例5.（年上海市文4分）在矩形中，边、的长分别为2、1，若、分别是边、上的点，且满足，则的取值范围是▲【答案】。【考点】平面向量的基本运算。【解析】如图所示，以为原点，向量AB所在直线为x轴，过所在直线为y轴建立平面直角坐标系。∵在矩形ABCD中，1,2ADAB，∴。设，则。∴由||||||||CDCNBCBM得，。∴的坐标为。∴。∴。∵，∴。∴的取值范围是。例6.（年江苏省5分）在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则的最大值是▲．【答案】。【考点】圆与圆的位置关系，点到直线的距离。【解析】∵圆C的方程可化为：，∴圆C的圆心为，半径为1。∵由题意，直线上至少存在一点，以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点；∴存在，使得成立，即。∵即为点到直线的距离，∴，解得。∴的最大值是。例7.（年安徽省文5分）若直线与圆有公共点，则实数取值范围是【】【答案】。【考点】圆与直线的位置关系，点到直线的距离公式，解绝对值不等式。【解析】设圆的圆心到直线的距离为，则根据圆与直线的位置关系，得。∴由点到直线的距离公式，得，解得。故选。
