高考数学 高频考点归类分析 应用三角函数求最值（真题为例）VIP免费

应用三角函数求最值典型例题：例1.（年天津市文5分）将函数（其中>0）的图像向右平移个单位长度，所得图像经过点（，0），则的最小值是【】（A）（B）1（C）（D）2【答案】D。【考点】函数的图象变换。【分析】将函数的图像向右平移得到函数。 此时函数过点，∴，即。∴。又 >0，∴的最小值为2。故选D。例2.（年山东省文5分）函数的最大值与最小值之和为【】AB0C－1D【答案】A。【考点】三角函数的值域。【解析】 ，∴当时，最小，为当时，最大，为。∴函数的最大值与最小值之和为。故选A。例3.（年上海市文4分）函数的最小正周期是▲【答案】。【考点】行列式的基本运算，三角函数的值域，二倍角公式。【解析】 ,∴函数的最小正周期是。例4.（年北京市文13分）已知函数。（1）求的定义域及最小正周期；（2）求的单调递增区间。【答案】解：（1）由解得，∴的定义域为。又 ∴的最小正周期为。（2） ，∴根据正弦函数的增减性，得或，。解得或，。∴的单调递增区间为。【考点】三角函数的定义域、最小正周期和单调增减性。【解析】（1）根据分式分母不为0的条件，结合正弦函数的零点得出的定义域。将变形，即可由求最小正周期的公式求得。（2）根据正弦函数的增减性，结合的定义域，求出的单调递增区间。例5.（年四川省文12分）已知函数。（Ⅰ）求函数的最小正周期和值域；（Ⅱ）若，求的值。【答案】解：（Ⅰ） ，∴的最小正周期为2，值域为。（Ⅱ）由（Ⅰ）知，=，∴cos。∴。【考点】三角函数的性质、两角和的正（余）弦公式、二倍角公式。【解析】（Ⅰ）将化为即可求得的最小正周期和值域。（Ⅱ）由=可求得cos，由余弦函数的二倍角公式与诱导公式可求得的值。例6.（年湖北省文12分）设函数f(x)＝sin2ωx＋2sinωx·cosωx－cos2ωx＋λ(x∈R)的图象关于直线x＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈.（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期；（Ⅱ）若y＝f(x)的图象经过点，求函数f(x)的值域【答案】解：（Ⅰ） f(x)＝sin2ωx－cos2ωx＋2sinωx·cosωx＋λ＝－cos2ωx＋sin2ωx＋λ＝2sin＋λ.，且直线x＝π是y＝f(x)图象的一条对称轴，∴sin＝±1。∴2ωπ－＝kπ＋(k∈R)，即ω＝＋(k∈R)。又 ω∈，k∈R，∴k＝1。∴ω＝。∴f(x)的最小正周期是。（Ⅱ）由y＝f(x)的图象过点，得f＝0，即λ＝－2sin＝－2sin＝－。∴f(x)＝2sin－，函数f(x)的值域为[－2－，2－]【考点】三角函数的恒等变化，正弦函数的定义域和值域。【解析】（Ⅰ）先利用二倍角公式和两角差的余弦公式将函数f(x)化为y=Asin（ωx+φ）+k型函数，再利用函数的对称性和ω的范围，计算ω的值，最后利用周期计算公式得函数的最小正周期。（Ⅱ）先将已知点的坐标代入函数解析式，求得λ的值，再利用正弦函数的图象和性质即可求得函数f(x)的值域。例7.（年重庆市文12分）设函数（其中）在处取得最大值2，其图象与轴的相邻两个交点的距离为。（I）求的解析式（5分）；（II）求函数的值域（7分）。【答案】解：（Ⅰ） 函数图象与轴的相邻两个交点的距离为，∴的周期为，即，解得。 在处取得最大值2，∴=2。∴，即。∴。又 ，∴。∴的解析式为。（Ⅱ） 函数，又 ，且，∴的值域为。【考点】三角函数中的恒等变换应用，由的部分图象确定其解析式。【分析】（Ⅰ）通过函数的周期求出ω，求出，利用函数经过的特殊点求出，推出的解析式。（Ⅱ）利用（Ⅰ）推出函数的表达式，应用同角函数关系式、倍角函数关系式得到。通过，且，求出的值域。例8.（年全国课标卷理5分）已知，函数在上单调递减。则的取值范围是【】【答案】。【考点】三角函数的性质。【解析】根据三角函数的性质利用排它法逐项判断： 时，，不合题意，∴排除。 时，，合题意，∴排除。故选。例9.（年湖南省理5分）函数的值域为【】A．B.C.D.【答案】B。【考点】三角恒等变换。【解析】利用三角恒等变换把化成的形式，利用，求得的值域： ，∴。∴函数的值域为。故选B。例10.（年四川省理12分）函数在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点，、为图象与轴的交点，且为正三角形。（Ⅰ）求的值及函数的值域；（Ⅱ）若，且，求的值。【答案】解：（Ⅰ）...