圆锥曲线的定义、标准方程和几何性质典型例题：例1.（年全国课标卷理5分）设12FF是椭圆的左、右焦点，为直线32ax上一点，是底角为30的等腰三角形，则的离心率为【】【答案】。【考点】椭圆的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数定义。【解析】 12FF是椭圆的左、右焦点，∴。 是底角为30的等腰三角形，∴。 为直线32ax上一点，∴。∴。又 ，即。∴。故选。例2.（年全国课标卷理5分）等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于两点，；则的实轴长为【】【答案】。【考点】双曲线和抛物线的性质。【解析】的准线。 与抛物线的准线交于两点，，∴，。设，则，得，。故选。例3.（年四川省理5分）已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点。若点到该抛物线焦点的距离为，则【】A、B、C、D、【答案】B。【考点】抛物线的定义【解析】]设抛物线方程为，则焦点坐标为（），准线方程为。 点在抛物线上，∴点到焦点的距离等于到准线的距离。∴且，解得。∴，。故选B。例4.（年四川省理5分）方程中的，且互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有【】A、60条B、62条C、71条D、80条【答案】B。【考点】分类讨论的思想，抛物线的定义。【解析】将方程变形得，若表示抛物线，则∴分=－3,－2，1，2，3五种情况：（1）若=－3，;（2）若=3,以上两种情况下有9条重复，故共有16+7=23条；同理当=－2,或2时，共有23条；当=1时，共有16条。综上，共有23+23+16=62条。故选B。例5.（年安徽省理5分）过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，点是原点，若；则的面积为【】【答案】。【考点】抛物线的性质。【解析】设，。 ，即点到准线的距离为。∴，即。。∴。∴的面积为。故选。例6.（年浙江省理5分）如图，，分别是双曲线：的左、右两焦点，是虚轴的端点，直线与的两条渐近线分别交于，两点，线段的垂直平分线与轴交于点．若，则的离心率是【】A．B．C．D．【答案】B。【考点】直线与圆锥曲线的综合问题，双曲线的简单性质。【解析】如图：设线段的垂直平分线与交于点， |OB|＝b，|OF1|＝c．∴kPQ＝，kMN＝﹣。直线PQ为：y＝(x＋c)，两条渐近线为：y＝x。由，得：Q(，)；由，得：P(，)。∴直线MN为：y－＝﹣(x－)。令y＝0得：xM＝。又 |MF2|＝|F1F2|＝2c，∴3c＝xM＝，解之得：，即e＝。故选B。例7.（年江西省文5分）椭圆的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2。若成等比数列，则此椭圆的离心率为【】A.B.C.D.【答案】B。【考点】椭圆的性质，等比关系的性质。【解析】设该椭圆的半焦距为c，由题意可得，， 成等比数列，∴。∴，即，即此椭圆的离心率为。故选B。例8.（年浙江省文5分）如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点。若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是【】A.3B.2C.D.【答案】B。【考点】椭圆和双曲线的方程和性质。【解析】设椭圆的长轴为2a，双曲线的长轴为，由M，O，N将椭圆长轴四等分，则，即，又因为双曲线与椭圆有公共焦点，设焦距均为c，则双曲线的离心率为，，。故选B。例9.（年福建省文5分）已知双曲线－＝1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于【】A.B.C.D.【答案】C。【考点】双曲线的性质。【解析】因为双曲线－＝1的右焦点坐标为(3,0)，所以c＝3，b2＝5，则a2＝c2－b2＝9－5＝4，所以a＝2，所以e＝＝。故选C。例10.（年江西省理5分）椭圆的左、右顶点分别是，左、右焦点分别是。若成等比数列，则此椭圆的离心率为▲.【答案】。【考点】等比中项的性质，椭圆的离心率，建模、化归思想的应用。【解析】求双曲线的离心率一般是通过已知条件建立有关的方程，求解方程即可：由椭圆的性质可知：，，，又已知，，成等比数列，故，即，则。∴，即椭圆的离心率为。例11.（年天津市文5分）已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且的右焦点为,则▲▲【答案】1，2。【考点】双曲线的性质。【分析】 双曲线的渐近线为，而的渐近线为，∴，。又 双曲线的右焦点为，∴。又 ，即，∴。例12.（年重庆市文5分）设为直线与双曲线左支的交点，是左焦点，垂直于轴，则...
