创新设计】高考数学一轮复习矩阵与变换课时作业新人教A版基础巩固题组(建议用时：50分钟)一、填空题1．已知变换T：→＝，则该变换矩阵为________．解析可写成＝.答案2．计算等于________．解析＝＝.答案3．矩阵的逆矩阵为________．解析＝5，∴的逆矩阵为.答案4．若矩阵A＝把直线l：2x＋y－7＝0变换成另一直线l′：9x＋y－91＝0，则a＝________，b＝________．解析取l上两点(0，7)和(3.5，0)，则＝，＝.由已知(7a，91)，(10.5，3.5b)在l′上，代入得a＝0，b＝－1.答案0－15．矩阵M＝的特征值为________．解析f(λ)＝＝(λ－6)(λ＋3)＋18＝0.λ∴＝0或λ＝3.答案0或36．已知矩阵M＝，α＝，β＝，则M(2α＋4β)＝________．解析2α＋4β＝＋＝，M(2α＋4β)＝＝.答案7．曲线C1：x2＋2y2＝1在矩阵M＝的作用下变换为曲线C2，则C2的方程为________．解析设P(x，y)为曲线C2上任意一点，P′(x′，y′)为曲线x2＋2y2＝1上与P对应的点，则＝，即⇒因为P′是曲线C1上的点，所以C2的方程为(x－2y)2＋y2＝1.答案(x－2y)2＋y2＝18．已知矩阵A＝，B＝，则满足AX＝B的二阶矩阵X为________．解析由题意，得A－1＝，∵AX＝B，∴X＝A－1B＝＝.答案9．已知矩阵A将点(1，0)变换为(2，3)，且属于特征值3的一个特征向量是，则矩阵A为________．解析设A＝，由＝，得由＝3＝，得所以所以A＝.答案二、解答题10．(·江苏卷)已知矩阵A的逆矩阵A－1＝，求矩阵A的特征值．解因为AA－1＝E，所以A＝(A－1)－1.因为A－1＝，所以A＝(A－1)－1＝，于是矩阵A的特征多项式为f(λ)＝＝λ2－3λ－4.令f(λ)＝0，解得A的特征值λ1＝－1，λ2＝4.11．已知矩阵A＝，A的一个特征值λ＝2，其对应的特征向量是α1＝.(1)求矩阵A；(2)若向量β＝，计算A5β的值．解(1)A＝.(2)矩阵A的特征多项式为f(λ)＝＝λ2－5λ＋6＝0，得λ1＝2，λ2＝3，当λ1＝2时，α1＝，当λ2＝3时，得α2＝.由β＝mα1＋nα2，得解得m＝3，n＝1.∴A5β＝A5(3α1＋α2)＝3(A5α1)＋A5α2＝3(λα1)＋λα2＝3×25＋35＝.12．(·福建卷)设曲线2x2＋2xy＋y2＝1在矩阵A＝(a＞0)对应的变换作用下得到的曲线为x2＋y2＝1.(1)求实数a，b的值；(2)求A2的逆矩阵．解(1)设曲线2x2＋2xy＋y2＝1上任意点P(x，y)在矩阵A对应的变换作用下的像是P′(x′，y′)．由＝＝，得又点P′(x′，y′)在x2＋y2＝1上，所以x′2＋y′2＝1，即a2x2＋(bx＋y)2＝1，整理得(a2＋b2)x2＋2bxy＋y2＝1，依题意得解得或因为a＞0，所以(2)由(1)知，A＝，A2＝＝.所以|A2|＝1，(A2)－1＝.
