高考数学 高频考点归类分析 圆锥曲线中定值问题（真题为例）VIP免费

圆锥曲线中定值问题典型例题：例1.（年上海市理16分）在平面直角坐标系中，已知双曲线.（1）过的左顶点引的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；（4分）（2）设斜率为1的直线交于P、Q两点，若与圆相切，求证：OP⊥OQ；（6分）（3）设椭圆.若M、N分别是、上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN的距离是定值.（6分）【答案】解：（1） 双曲线的左顶点，渐近线方程：.∴过点A与渐近线平行的直线方程为，即。解方程组，得。∴所求三角形的面积为。（2）证明：设直线PQ的方程是 直线与已知圆相切，故，即。[由，得。设，则.又，∴。∴OP⊥OQ。（3）当直线ON垂直于轴时，|ON|=1，|O|=，则O到直线MN的距离为。（此时，N在轴上，在轴上）当直线ON不垂直于x轴时，设直线ON的方程为（显然），则由OM⊥ON，得直线OM的方程为。由，得。∴。同理。设O到直线MN的距离为， ，∴，即。综上所述，O到直线MN的距离是定值。【考点】双曲线的概念、标准方程、几何性，直线与双曲线的关系，椭圆的标准方程和圆的有关性质。【解析】（1）求出过点A与一条渐近线平行的直线方程，再求出它与另一条渐近线即可求得三角形的面积。（2）由两直线垂直的判定，只要证明表示这两条直线的向量积为0即可，从而求出直线方程，进一步求出表示这两条直线的向量，求出它们的积即可。（3）分直线ON垂直于轴和直线ON不垂直于x轴两种情况证明即可。例2.（年江西省理13分）已知三点，，，曲线上任意一点满足。（1）求曲线的方程；（2）动点在曲线上，曲线在点处的切线为。问：是否存在定点，使得与都相交，交点分别为，且与的面积之比是常数？若存在，求的值。若不存在，说明理由。【答案】解：（1）由MA＝(－2－x,1－y)，MB＝(2－x,1－y)，得|MA＋MB|＝，OM·(OA＋OB)＝(x，y)·(0,2)＝2y。由已知得＝2y＋2，化简得曲线C的方程：x2＝4y。[（2）假设存在点P(0，t)(t<0)满足条件，则直线PA的方程是y＝x＋t，PB的方程是y＝x＋t。曲线C在Q处的切线l的方程是y＝x－，它与y轴交点为F。由于－2，所以l与直线PA，PB一定相交。分别联立方程组解得D，E的横坐标分别是xD＝，xE＝。则xE－xD＝(1－t).。又|FP|＝－－t，有S△PDE＝·|FP|·|xE－xD|＝·.。又S△QAB＝·4·＝，于是＝·＝·。对任意x0∈(－2,2)，要使为常数，则t要满足解得t＝－1，此时＝2。故存在t＝－1，使△QAB与△PDE的面积之比是常数2。【考点】圆锥曲线的轨迹问题，利用导数研究曲线上某点切线方程。【解析】（1）用坐标表示MA和MB，从而可得|MA＋MB|，利用向量的数量积，结合满足，可得曲线C的方程。（2）假设存在点P(0，t)(t<0)满足条件，则直线PA的方程是y＝x＋t，PB的方程是y＝x＋t。分类讨论：①当－1，分别联立方程组，解得D，E的横坐标，进而可得△QAB与△PDE的面积之比，利用其为常数，即可求得结论。例3.（年湖南省理13分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的点均在外，且对C1上任意一点M，M到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值.（Ⅰ）求曲线C1的方程；（Ⅱ）设为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D.证明：当P在直线x=﹣4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值.【答案】解：（Ⅰ）设M的坐标为，由已知得，易知圆上的点位于直线的右侧，于是，所以，化简得曲线的方程为。（Ⅱ）当点P在直线上运动时，P的坐标为，又，则过P且与圆相切得直线的斜率存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为。于是，整理得①设过P所作的两条切线的斜率分别为，则是方程①的两个实根，∴②由得③设四点A,B,C,D的纵坐标分别为，则是方程③的两个实根，所以④同理可得⑤∴由②，④，⑤三式得。∴当P在直线上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值6400。【考点】曲线与方程，直线与曲线的位置关系【解析】（Ⅰ）根据M到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值用直接法...