高考数学 高频考点归类分析 圆锥曲线中最值问题（真题为例）VIP免费

圆锥曲线中最值问题典型例题：例1.（年四川省理4分）椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于点、，当的周长最大时，的面积是▲。【答案】3。【考点】椭圆的性质。【解析】画出图象，结合图象得到的周长最大时对应的直线所在位置．即可求出结论．如图，设椭圆的右焦点为E。由椭圆的定义得：的周长：。 ，∴，当AB过点E时取等号。∴。即直线过椭圆的右焦点E时的周长最大，此时的高为：EF=2，直线。把代入椭圆得。∴。∴当的周长最大时，的面积是。例2.（年四川省文4分）椭圆为定值，且的的左焦点为，直线与椭圆相交于点、，的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是▲。【答案】。【考点】椭圆的性质。【解析】画出图象，结合图象得到的周长最大时对应的直线所在位置．即可求出结论．如图，设椭圆的右焦点为E。由椭圆的定义得：的周长：。 ，∴，当AB过点E时取等号。∴。即直线过椭圆的右焦点E时的周长最大，此时的高为：EF=2，直线。 的周长的最大值是12，∴。∴。∴。例3.（年山东省理13分）在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过M，F，O三点的圆的圆心为Q，点Q到抛物线C的准线的距离为。（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）是否存在点M，使得直线MQ与抛物线C相切于点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由；（Ⅲ）若点M的横坐标为，直线l：y=kx+与抛物线C有两个不同的交点A，B，l与圆Q有两个不同的交点D，E，求当时，的最小值。【答案】解：（Ⅰ）F抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点F，设M，。由题意可知，则点Q到抛物线C的准线的距离为，解得。∴抛物线C的方程为。（Ⅱ）假设存在点M，使得直线MQ与抛物线C相切于点M，而，，，∴，即。由可得，，则，即，解得，点M的坐标为。（Ⅲ） 点M的横坐标为，∴点M，。由可得。设，则。∴。 圆，圆心到直线l的距离。∴。∴。 ，∴令。∴。设，则。当时，，即当时，。∴当时，。【考点】抛物线和圆的性质，切线斜率的应用和意义，韦达定理的应用，导数的应用。函数的单调性质。【解析】（Ⅰ）由已知条件，根据抛物线和圆的性质列式求解。（Ⅱ）假设存在点M，使得直线MQ与抛物线C相切于点M，则由条件列式，并由切线斜率的应用和意义求出点M的坐标。（Ⅲ）应用韦达定理、勾股定理，用表示出和，根据函数的单调性质可求解。例4.（年山东省文13分）如图，椭圆M：的离心率为，直线和所围成的矩形ABCD的面积为8.(Ⅰ)求椭圆M的标准方程；(Ⅱ)设直线与椭圆M有两个不同的交点P，Q，与矩形ABCD有两个不同的交点S，T.求的最大值及取得最大值时m的值.【答案】解：(Ⅰ) 椭圆M：的离心率为∴，即……①。 矩形ABCD面积为8，∴，即……②由①②解得：。∴椭圆M的标准方程是。(II)由得。设，则。由得。∴。当过A点时，，当过C点时，。①当时，有，∴。设，则。∴当，即时，取得最大值。②当时，由对称性，可知，当时，取得最大值。③当时，，，∴当时，取得最大值。综上可知，当时，取得最大值。【考点】椭圆的性质，矩形的性质，函数的极值。【解析】（Ⅰ）由已知条件，根据椭圆M的离心率为，直线和所围成的矩形ABCD的面积为8，列方程组组求解。（Ⅱ）应用韦达定理、勾股定理，用表示出，分，，三种情况分别求解。例5.（年广东省理14分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：的离心率，且椭圆C上的点到Q（0，2）的距离的最大值为3.（1）求椭圆C的方程；（2）在椭圆C上，是否存在点M（m，n）使得直线l：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及相对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由。【答案】解：（1） ，∴可设。∴，故椭圆C的方程为。设为椭圆上的任一点，则。 ，∴当时，取得最大值，即取得最大值。又 椭圆C上的点到Q（0，2）的距离的最大值为3，∴，解得。∴所求的椭圆C方程为。（2）假设点M（m，n）存在，则，即圆心O到直线的距离。∴。 ∴（当且仅当，即时取等号）。解得，即或或或。∴所求点M的坐标为，对应的△OAB的面积为。【考点】椭圆的性质，两点间的距离公式，二次函数的最大值，基本不等式的应用。【解析】（1）由...