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高考数学 高频考点归类分析 圆锥曲线中最值问题(真题为例)VIP免费

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圆锥曲线中最值问题典型例题:例1.(年四川省理4分)椭圆的左焦点为,直线与椭圆相交于点、,当的周长最大时,的面积是▲。【答案】3。【考点】椭圆的性质。【解析】画出图象,结合图象得到的周长最大时对应的直线所在位置.即可求出结论.如图,设椭圆的右焦点为E。由椭圆的定义得:的周长:。 ,∴,当AB过点E时取等号。∴。即直线过椭圆的右焦点E时的周长最大,此时的高为:EF=2,直线。把代入椭圆得。∴。∴当的周长最大时,的面积是。例2.(年四川省文4分)椭圆为定值,且的的左焦点为,直线与椭圆相交于点、,的周长的最大值是12,则该椭圆的离心率是▲。【答案】。【考点】椭圆的性质。【解析】画出图象,结合图象得到的周长最大时对应的直线所在位置.即可求出结论.如图,设椭圆的右焦点为E。由椭圆的定义得:的周长:。 ,∴,当AB过点E时取等号。∴。即直线过椭圆的右焦点E时的周长最大,此时的高为:EF=2,直线。 的周长的最大值是12,∴。∴。∴。例3.(年山东省理13分)在平面直角坐标系xOy中,F是抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点,M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点,过M,F,O三点的圆的圆心为Q,点Q到抛物线C的准线的距离为。(Ⅰ)求抛物线C的方程;(Ⅱ)是否存在点M,使得直线MQ与抛物线C相切于点M?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由;(Ⅲ)若点M的横坐标为,直线l:y=kx+与抛物线C有两个不同的交点A,B,l与圆Q有两个不同的交点D,E,求当时,的最小值。【答案】解:(Ⅰ)F抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点F,设M,。由题意可知,则点Q到抛物线C的准线的距离为,解得。∴抛物线C的方程为。(Ⅱ)假设存在点M,使得直线MQ与抛物线C相切于点M,而,,,∴,即。由可得,,则,即,解得,点M的坐标为。(Ⅲ) 点M的横坐标为,∴点M,。由可得。设,则。∴。 圆,圆心到直线l的距离。∴。∴。 ,∴令。∴。设,则。当时,,即当时,。∴当时,。【考点】抛物线和圆的性质,切线斜率的应用和意义,韦达定理的应用,导数的应用。函数的单调性质。【解析】(Ⅰ)由已知条件,根据抛物线和圆的性质列式求解。(Ⅱ)假设存在点M,使得直线MQ与抛物线C相切于点M,则由条件列式,并由切线斜率的应用和意义求出点M的坐标。(Ⅲ)应用韦达定理、勾股定理,用表示出和,根据函数的单调性质可求解。例4.(年山东省文13分)如图,椭圆M:的离心率为,直线和所围成的矩形ABCD的面积为8.(Ⅰ)求椭圆M的标准方程;(Ⅱ)设直线与椭圆M有两个不同的交点P,Q,与矩形ABCD有两个不同的交点S,T.求的最大值及取得最大值时m的值.【答案】解:(Ⅰ) 椭圆M:的离心率为∴,即……①。 矩形ABCD面积为8,∴,即……②由①②解得:。∴椭圆M的标准方程是。(II)由得。设,则。由得。∴。当过A点时,,当过C点时,。①当时,有,∴。设,则。∴当,即时,取得最大值。②当时,由对称性,可知,当时,取得最大值。③当时,,,∴当时,取得最大值。综上可知,当时,取得最大值。【考点】椭圆的性质,矩形的性质,函数的极值。【解析】(Ⅰ)由已知条件,根据椭圆M的离心率为,直线和所围成的矩形ABCD的面积为8,列方程组组求解。(Ⅱ)应用韦达定理、勾股定理,用表示出,分,,三种情况分别求解。例5.(年广东省理14分)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C1:的离心率,且椭圆C上的点到Q(0,2)的距离的最大值为3.(1)求椭圆C的方程;(2)在椭圆C上,是否存在点M(m,n)使得直线l:mx+ny=1与圆O:x2+y2=1相交于不同的两点A、B,且△OAB的面积最大?若存在,求出点M的坐标及相对应的△OAB的面积;若不存在,请说明理由。【答案】解:(1) ,∴可设。∴,故椭圆C的方程为。设为椭圆上的任一点,则。 ,∴当时,取得最大值,即取得最大值。又 椭圆C上的点到Q(0,2)的距离的最大值为3,∴,解得。∴所求的椭圆C方程为。(2)假设点M(m,n)存在,则,即圆心O到直线的距离。∴。 ∴(当且仅当,即时取等号)。解得,即或或或。∴所求点M的坐标为,对应的△OAB的面积为。【考点】椭圆的性质,两点间的距离公式,二次函数的最大值,基本不等式的应用。【解析】(1)由...

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