直线与圆锥曲线的关系问题典型例题：例1.（年辽宁省文5分）已知P，Q为抛物线上两点，点P，Q的横坐标分别为4，2，过P、Q分别作抛物线的切线，两切线交于A，则点A的纵坐标为【】(A)1(B)3(C)4(D)8【答案】C。【考点】利用导数求切线方程的方法，直线的方程、两条直线的交点的求法。【解析】 点P，Q的横坐标分别为4，2，∴代人抛物线方程得P，Q的纵坐标分别为8，2。由得，∴。∴过点P，Q的抛物线的切线的斜率分别为4，2。∴过点P，Q的抛物线的切线方程分别为。联立方程组解得。∴点A的纵坐标为4。故选C。例2.（年湖北省理5分）如图，双曲线的两顶点为，虚轴两端点为，两焦点为。若以为直径的圆内切于菱形，切点分别为A，B，C，D。则（Ⅰ）双曲线的离心率e=▲；（Ⅱ）菱形的面积与矩形的面积的比值▲。【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）。【考点】双曲线的离心率及实轴虚轴的相关定义，一般平面几何图形的面积计算。【解析】（Ⅰ）由已知，解得。（Ⅱ）由已知得，又直线的方程为，而直线的方程为，联立解得，∴，。例3.（年全国大纲卷理12分）已知抛物线2:(1)Cyx与圆2221:(1)()(0)2Mxyrr有一个公共点A，且在A处两曲线的切线为同一直线l。（1）求r；（2）设m、n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m、n的交点为D，求D到l的距离。【答案】解：（1）设200(,(1))Axx，对2(1)yxx求导得2(1)yx。∴直线l的斜率02(1)kx，当01x时，不合题意，∴01x。 圆心为1(1,)2M，MA的斜率2001(1)21xkx，由lMA知1kk，即20001(1)22(1)11xxx，解得00x。∴(0,1)A。∴2215||(10)(1)22rMA。（2）设2(,(1))aa为C上一点，则在该点处的切线方程为2(1)2(1)()yaaxa即22(1)1yaxa。若该直线与圆M相切，则圆心M到该切线的距离为52，即2221|2(1)11|522[2(1)](1)aaa，化简可得22(46)0aaa，解得0120,210,210aaa。∴抛物线C在点2(,(1))(0,1,2)iiaai处的切线分别为,,lmn，其方程分别为21yx①2112(1)1yaxa②2222(1)1yaxa③。②－③得1222aax，将2x代入②得1y，故(2,1)D。∴D到直线l的距离为22|22(1)1|6552(1)d。【考点】抛物线与圆的方程，以及两个曲线的公共点处的切线的运用，点到直线的距离。【解析】（1）两个二次曲线的交点问题，并且要研究两曲线在公共点出的切线，把解析几何和导数的工具性结合起来。首先设出切点坐标，求出抛物线方程的导数，得到在切点处的斜率。求出圆心坐标，根据两直线垂直斜率的积为－1列出方程而求出切点坐标。最后根据点到直线的距离公式求出圆心到切线的距离即圆的半径。（2）求出三条切线方程，l可由（1）求出。m、n的切线方程含有待定系数，求出它即可求得交点坐标，从而根据点到直线的距离公式求出D到l的距离。例4.（年全国课标卷理12分）设抛物线的焦点为，准线为，，已知以为圆心，为半径的圆交于两点；（1）若，的面积为；求的值及圆的方程；（2）若三点在同一直线上，直线与平行，且与只有一个公共点，求坐标原点到距离的比值。【答案】解：（1）由对称性知：是等腰直角三角形，斜边。点到准线的距离。 ，∴。∴。∴，。∴圆的方程为。（2）由对称性设，则 三点在同一直线上，∴点关于点对称，得：。∴，即∴，直线，整理得。∴直线的斜率为。又 直线与平行，∴直线的斜率为。由得，∴。 直线与只有一个公共点，∴令，得。∴切点。∴直线，整理得∴坐标原点到距离的比值为。【考点】抛物线和圆的性质，两直线平行的性质，点到直线的距离，导数和切线方程。【解析】（1）由已知，的面积为，根据抛物线和圆的性质可求得以及，，从而得到圆的方程。（2）设，根据对称性得，由在准线上得到，从而求得的坐标（用表示），从而得到直线的方程和斜率。由直线与平行和直线与只有一个公共点，应用导数可求出直线的方程。因此求出坐标原点到距离的比值。例5.（年上海市文16分）在平面直角坐标系中，已知双曲线（1）设是的左焦点，是右支上一点，若，求点的坐标；（5分）（2）过的左焦点作的两条渐近线...
